Bài 1.11 trang 20 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a và các mặt bên tạo với đáy một góc 60⁰.Hãy tính thể tích của khối chóp đó.

Hướng dẫn làm bài:

Kẻ \(SH \bot (ABC)\) và HA’, HB’, HC’ lần lượt vuông góc với BC, CA, AB. Theo định lí ba đường vuông góc ta có \(SA’ \bot BC,SB’ \bot CA,SC’ \bot AB\)

Từ đó suy ra  \(\widehat {SA’H} = \widehat {SB’H} = \widehat {SC’H} = {60^0}\).

Do đó các tam giác vuông SHA’, SHB’, SHC’ bằng nhau. Từ đó suy ra HA’ = HB’ = HC’. Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác  ABC. Do tam giác cân ở A nên AH vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến. Từ đó suy ra A, H, A’ thẳng hàng và A’ là trung điểm của BC.

Do đó, AA’² = AB² – BA’² = 25a² – 9a² = 16a²

Vậy AA’ = 4a

Gọi p là nửa chu vi của tam giác ABC, r là bán kính đường tròn nội tiếp của nó.

Khi đó \({S_{ABC}} = {1 \over 2}6a.4a = 12{a^2} = pr = 8ar\)

Từ đó suy ra  \(r = {3 \over 2}a\)

Do đó \(SH = HA’.\tan {60^0} = {{3a} \over 2}\sqrt 3  = {{3\sqrt 3 } \over 2}a\)

Thể tích khối chóp là \(V = {1 \over 3}.12{a^2}.{{3\sqrt 3 } \over 2}a = 6\sqrt 3 {a^3}\).