Bài 1.36 trang 23 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, M  là trung điểm của BB’ Tính theo a:

a) Khoảng cách giữa AC và DC’.

b) Độ dài đoạn vuông góc chung giữa CM và AB’.

Hướng dẫn làm bài

a) 

Gọi  d(AC, DC’) = h

Ta có C’A’ // CA, do đó:

d(AC, DC’) = d(AC, (A’C’D)) = d(C, (A’C’D)) = h

Ta có:  \({V_{A’.CDC’}} = {1 \over 3}{{{a^2}} \over 2}a = {{{a^3}} \over 6}\)

Để ý rằng tam giác A’C’D là tam giác đều cạnh bằng  \(a\sqrt 2 \).

Do đó: \({S_{A’C’D}} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 2}\);

\({V_{C.A’C’D}} = {1 \over 3}{S_{A’C’D}}.h = {1 \over 3}.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 2}h = {V_{A’.CDC’}} = {{{a^3}} \over 6}\)

Từ đó suy ra:  \(h = {{{{{a^3}} \over 6}} \over {{{{a^2}\sqrt 3 } \over 6}}} = {a \over {\sqrt 3 }} = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)

b) 

Từ A kẻ đường thẳng song song với MC’, cắt DD’ tại N và A’D’ kéo dài tại J.

Đặt  h₁ = d(MC’, AB’) = d(M, (AB’N))

Ta có:  \({V_{M.AB’N}} = {V_{N.AB’M}} = {1 \over 3}{{{a^2}} \over 4}a = {{{a^3}} \over {12}}\)

Để ý rằng  N là trung điểm của DD’, A’J = 2A’D’  và JA = JB’

Gọi I là trung điểm của AB’, khi đó  \(JI \bot AB’\).

Ta có:   \({\rm{AJ}} = \sqrt {{\rm{AA}}{‘^2} + A'{J^2}}  = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}}  = a\sqrt 5 ;AI = {{a\sqrt 2 } \over 2}\)

Suy ra:  \({\rm{IJ}} = \sqrt {5{a^2} – {{{a^2}} \over 2}}  = {{3a} \over {\sqrt 2 }}\)  ;

            \({S_{JAB’}} = {1 \over 2}{{3a} \over {\sqrt 2 }}a\sqrt 2  = {{3{a^2}} \over 2}\)

Do đó:  \({S_{AB’N}} = {1 \over 2}{S_{JAB’}} = {{3{a^2}} \over 4}\) ;

         \({V_{M.AB’N}} = {1 \over 3}{{3{a^2}} \over 4}{h_1} = {{{a^2}{h_1}} \over 4} = {{{a^3}} \over {12}}\)

Suy ra:  \({h_1} = {a \over 3}\)

Chú ý: Có thể tính thể tích S_AB’N  bằng cách khác.

Để ý rằng:  \(NB’ = \sqrt {ND{‘^2} + B’D{‘^2}}  = \sqrt {{{{a^2}} \over 4} + 2{a^2}}  = {{3a} \over 2},\)

\(AN = {{a\sqrt 5 } \over 2},\,\,AB’ = a\sqrt 2 \)

Gọi \(\alpha  = \widehat {NAB’}\) . Ta có: \(NB{^2} = {\rm{ }}A{N^2} + {\rm{ }}AB{^2}-{\rm{ }}2AN.AB.cos\alpha \)

Hay \({{9{a^2}} \over 4} = {{5{a^2}} \over 4} + 2{a^2} – 2{{a\sqrt 5 } \over 2}a\sqrt 2 \cos \alpha\)

\( \Rightarrow  \cos \alpha  = {1 \over {\sqrt {10} }} \Rightarrow  \sin \alpha  = {3 \over {\sqrt {10} }}\)

Do đó: \({S_{AB’N}} = {1 \over 2}AB’.AN.\sin \alpha  = {1 \over 2}a\sqrt 2 {{a\sqrt 5 } \over 2}{3 \over {\sqrt {10} }} = {{3{a^2}} \over 4}\)