Bài 1. Giới hạn của dãy số


Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 34,121212... (chu kì là 12). Hãy viết a dưới dạng một phân số.Giải: Giải tương tự Ví dụ 13, ta có \(a = 34,121212... = {{1126} \over {33}}\)
Biết rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là 0. Giải thích vì sao dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = \left| {{u_n}} \right|\) cũng có giới hạn là 0. Chiều ngược lại có đúngkhông?Giải: Vì \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới...
Vì sao dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\) không thể có giới hạn là 0 khi \(n \to  + \infty \)  ?Giải: Vì \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{\left( { - 1} \right)}^n}} \right| =...
Cho biết dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn hữu hạn, còn dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) không có giới hạn hữu hạn. Dãy số \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) có thể có giới hạn hữu hạn không?Giải: Dãy  \(\left( {{u_n} +...
a)     Cho hai dãy số (un) và (vn). Biết \(\lim {u_n} =  - \infty \) và \({v_n} \le {u_n}\) với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn của dãy  (vn) khi \(n \to  + \infty \) ?b)     Tìm vn với \({v_n} =  - n!\)Giải:a)    ...
Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi \(n \to  + \infty \)a) \({a_n} = {{2n - 3{n^3} + 1} \over {{n^3} + {n^2}}}\) ;b) \({b_n} = {{3{n^3} - 5n + 1} \over {{n^2}...
Tính các giới hạn sau:a) \(\lim \left( {{n^2} + 2n - 5} \right)\) ;b) \(\lim \left( { - {n^3} - 3{n^2} - 2} \right)\) ;c) \(\lim \left[ {{4^n} + {{\left( { - 2} \right)}^n}} \right]\) ;d) \(\lim n\left( {\sqrt {{n^2} - 1}  -...
Cho hai dãy số (un) và (vn). Chứng minh rằng nếu \(\lim {v_n} = 0\) và \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi n thì \(\lim {u_n} = 0\)Giải: \(\lim {v_n} = 0 \Rightarrow \left| {{v_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số...
Biết \(\left| {{u_n} - 2} \right| \le {1 \over {{3^n}}}\). Có kết luận gì về giới hạn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) ?Giải: \(\lim {u_n} = 2\)
Nếu \(\lim {v_n} = 0\) và \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi n thì \(\lim {u_n} = 0\). Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát như sau:a)  \({u_n} = {1 \over {n!}}\) ;b) \({u_n} = {{{{\left( { -...
Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xácđịnh bởi công thức truy hồi\(\left\{ \matrix{ {u_1} = 2 \hfill \cr {u_{n + 1}} = {{{u_n} + 1} \over 2}{\rm{ voi }}n \ge 1 \hfill \cr} \right.\)Chứng minh rằng  có giới hạn hữu hạn...
Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \(1, - {1 \over 2},{1 \over 4}, - {1 \over 8},...,{\left( { - {1 \over 2}} \right)^{n - 1}},...\)Giải:ĐS: \({2 \over 3}\)
Tính tổng \(S = 1 + 0,9 + {\left( {0,9} \right)^2} + {\left( {0,9} \right)^3} +... + {\left( {0,9} \right)^{n - 1}} +...\)Giải: ĐS: 10
Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội \(q = {2 \over 3}\)Giải:ĐS: \({u_n} = {\left( {{2 \over 3}} \right)^{n - 1}}\)
Cho dãy số \(\left( {{b_n}} \right)\) có số hạng tổng quát là \({b_n} = \sin \alpha  + {\sin ^2}\alpha  +... + {\sin ^n}\alpha \) với \(\alpha  \ne {\pi  \over 2} + k\pi \). Tìm giới hạn của \(\left( {{b_n}} \right)\)Giải: Dãy số:...
Giả sử ABC là tam giác vuông cân tại A với độ dài cạnh góc vuông bằng 1. Ta tạo ra các hình vuông theo các bước sau đây:-          Bước 1: Dựng hình vuông màu xám có mộtđỉnhA, ba đỉnh còn...