Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian


Cho ba vectơ \(\overrightarrow u (1;2;3),\overrightarrow v (2;2; - 1),\overrightarrow {\rm{w}} \left( {4;0; - 4} \right)\). Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow x \), biết\(\eqalign{  & a)\overrightarrow x  = \overrightarrow u  - \overrightarrow v ;  \cr  & b)\overrightarrow x  =...
Cho \(\overrightarrow u  = (3;2; - 5).\) Trong các vec tơ sau đây, vectơ nào cùng phương với \(\overrightarrow u \)?\(\eqalign{  & \overrightarrow a  = ( - 6; - 4;10),  \cr  & \overrightarrow b  = (2;{4 \over 3}; - {{10}...
Cho vectơ \(\overrightarrow u \) có điểm đầu là (1;-1;3) và điểm cuối là (-2;3;5).Trong các vectơ sau đây, vectơ nào cùng phương với \(\overrightarrow u \)?\(\eqalign{  & \overrightarrow a  =  - 6\overrightarrow i  + 8\overrightarrow j  + 4\overrightarrow k, ...
a) Cho \(\overrightarrow u \)=(3;-5;6), biết tọa độ điểm đầu là \(\overrightarrow u \) là (0;6;2). Tìm tọa độ điểm cuối của \(\overrightarrow u \).b) Cho \(\overrightarrow v \)=(1;1;1), biết tọa độ điểm cuối của \(\overrightarrow v \) là (2;1;4)....
Bộ ba điểm A, B, C nào sau đây thẳng hàng?\(\eqalign{  & a)A = (1;3;1),B = (0;1;2),C = (0;0;1);  \cr  & b)A = (1;1;1),B = ( - 4;3;1),C = ( - 9;5;1);  \cr  & c)A = (0; - 2;5),B =...
a) Cho ba điểm A(2;5;3), B(3;7;4),C=(x;y;6).Tìm x, y để A, B, C thẳng hàngb) Cho hai điểm A(-1;6;6), B(3;-6;-2).Tìm điểm M thuộc \(mp\left( {Oxy} \right)\) sao cho MA+MB nhỏ nhất.Giảia) A,B,C thẳng hàng\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC}  = k\overrightarrow {AB} \)\( \Rightarrow...
Chứng minh bốn điểm A(1;-1;1), B(1;3;1), C(4;3;1), D(4;-1;1) là các đỉnh của một hình chữ nhật.Tính độ dài các đường chéo, xác định tọa độ của tâm hình chữ nhật đó. Tính côsin của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AC}...
a) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết \(A({x_1};{y_1};{z_1}),C({x_3};{y_3};{z_3}),B'(x{'_2};y{'_2};z{'_2}),\)\(D'(x{'_4};y{'_4};z{'_4}).\) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại.b) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết A(1;0;1), B(2;1;2), D(1;-1;1), C’(4;5;-5). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại.Giảia) Đặt \(O = AC \cap BD,O' = A'C' \cap B'D'.\)Ta...
\(\eqalign{  & a)\overrightarrow u  = (1;2; - 3),\overrightarrow v  = ( - 4;1;2);  \cr  & b)\overrightarrow u  = 3\overrightarrow i  + 2\overrightarrow j  - \overrightarrow k,\overrightarrow v  =  - \overrightarrow i  - 3\overrightarrow j  + \overrightarrow k ;  \cr  &...
Tính \(\left[ {\overrightarrow u,\overrightarrow v } \right]\), \(\overrightarrow {\rm{w}} \) biết\(\eqalign{  & a)\overrightarrow u  = (0;3;2);\overrightarrow v  = \left( { - 4;1;3} \right);\overrightarrow {\rm{w}}  = \left( {1; - 2;2} \right);  \cr  & b)\overrightarrow u  = 4\overrightarrow i  + \overrightarrow j ...
Chứng tỏ bốn điểm sau đây là bốn đỉnh của một hình bình hành và tính diện tích của hình bình hành đó: (1; 1; 1), (2; 3; 4), (6; 5; 2), (7; 7; 5).GiảiTa gọi A(1;1;1), B(2;3;4); C(7;7;5); D(6; 5;...
a) Tìm trên trục Oy điểm cách đều hai điểm A(3;1;0), B(-2;4;1).b )Tìm trên mặt phẳng (Oxz) điểm cách đều ba điểmA(1;1;1), B(-1;1;0), C(3;1;-1).Giảia) Điểm cần tìm tọa độ M (0;y;0).\(\overrightarrow {MA} ({\rm{ }}3;1 - y;{\rm{ }}0)\); \(\overrightarrow {MB}  = \left(...
Cho hai điểm A(2;-1;7), B(4;5;-2). Đường thẳng AB cắt mp(Oyz) tại điểm M. Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào? Tìm tọa độ điểm M.GiảiĐường thẳng AB cắt mp(Oyz) tại M\( \Rightarrow M = (0;y;z)\)\(\overrightarrow {MA}  =...
a) Cho \(\overrightarrow u (2; - 1;1),\overrightarrow v (m;3; - 1),\overrightarrow {\rm{w}} (1;2;1).\)Tìm m để ba vectơ đồng phẳng.b) Cho \(\overrightarrow u (1;2;3),\overrightarrow v (2;1;m),\overrightarrow {\rm{w}} (2;m;1).\)Tìm m để ba vec tơ trên không đồng phẳng.c) Cho \(\overrightarrow u (1;1;2),\overrightarrow...
Cho ba vectơ \(\overrightarrow u (3;7;0),\overrightarrow v (2;3;1),\overrightarrow {\rm{w}} (3; - 2;4).\)a) Chứng minh \(\overrightarrow u,\overrightarrow v,\overrightarrow {\rm{w}} \) không đồng phẳng.b) Biểu thị vec tơ \(\overrightarrow a ( - 4; - 12;3)\) theo ba vectơ \(\overrightarrow u,\overrightarrow v,\overrightarrow {\rm{w}}...
Trong không gian cho ba tia Ox, Oy, Oz.Chứng minh rằng nếu tia Ox vuông góc với tia phân giác của góc \(\widehat {yOz}\) thì \(\widehat {xOy} + \widehat {xOz} = {180^0}.\)GiảiTrên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy ba điểm...
a) Cho hai vectơ \(\overrightarrow a (1;m; - 1)\) và \(\overrightarrow b (2;1;3).\) Tìm m để \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b.\)b) Cho hai vectơ \(\overrightarrow a (1;{\log _3}5;m)\) và \(\overrightarrow b (3;{\log _5}3;4).\) Tìm m để \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow...
a) Tìm vec tơ đơn vị vuông góc với trục Ox và vuông góc với vec tơ \(\overrightarrow a (3;6;8).\)b) Cho vec tơ \(\overrightarrow a (1; - 2;3).\) Tìm tọa độ vec tơ \(\overrightarrow b \) cùng phương với \(\overrightarrow...
Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(1;1;0), B(0;2;1), C(1;0;2), D(1;1;1).a) Chứng minh bốn điểm đó không đồng phẳng. Tính thể tích tứ diện ABCD.b) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC, trọng tâm của tứ diện ABCD.c)...
Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1) và C(2;1;1).a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.b) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.c) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình...
Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC cóA  (1;2;-1), B (2;-1;3), C (-4;7;5).a) Tính độ dài đường cao \({h_A}\) của tam giác kẻ từ A.b) Tính độ dài đường phân giác trong tam giác kẻ từ đỉnh B.Giảia) Ta...
Chứng minh các tính chất sau đây có tích có hướng:\(\eqalign{  & a)\left[ {\overrightarrow a,\overrightarrow b } \right] =  - \left[ {  \overrightarrow b,\overrightarrow a } \right];  \cr  & b)\left[ {\overrightarrow a,\overrightarrow a } \right] = \overrightarrow 0 ;  \cr ...
Cho tứ diện ABCD có A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) và D thuộc trục Oy. Biết \({V_{ABCD}} = 5.\) Tìm tọa độ đỉnh D.GiảiGiả sử D (0;y;0) thuộc trục Oy . Ta có:\(\eqalign{  & \overrightarrow {AB}  = (1; - 1;2),\cr&\overrightarrow {AD}  =...
Cho bốn điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4),C(5;-1;0), D(1;2;1).a) Chứng minh ABC là tam giác vuông. Tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác.b) Tính thể tích tứ diện ABCD.c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.Giảia) Ta...
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.a) Chứng minh \({A'C}  \bot (AB'D').\)b) Gọi M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BB’. Chứng minh \(A'C \bot MN.\)c) Tính cô sin của góc giữa hai vec tơ \(\overrightarrow...
Cho tứ diện SABC có \(SC = CA = AB = a\sqrt 2,SC \bot \left( {ABC} \right)\), tam giác ABC vuông tại A. Các điểm \(M \in SA,N \in BC\) sao cho \(AM = CN = t(0 < t <...
a) Viết phương trình mặt cầu đi qua A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3) và có tâm nằm trên mp(Oxy).b) Viết phương trình mặt cầu đi qua hai điểm A(3;-1;2), B(1;1;-2) và có tâm thuộc trục Oz.c) Viết phương trình mặt cầu đi qua...
Cho sáu điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c), A’(a’;0;0), B’(0;b’;0), C’(0;0;c’) với aa’ = bb’ = cc’\( \ne 0\) ;\(a \ne a',b \ne b',c \ne c'.\)a) Chứng minh có một mặt cầu đi qua sáu điểm nói trên.b) Chứng minh đường thẳng...
a) Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua  điểm A(a;b;c) cho trước và có bán kính R không đổi.b) Cho bốn điểm A(2;0;0), B(0;4;0), C(0;0;6), D(2;4;6). Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho\(\left| {\overrightarrow...
a) Cho phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4mx + 4y + 2mz + {m^2} + 4m = 0\)Xác định m để nó là phương trình của một mặt cầu. Khi đó, tìm m để bán kính mặt...