Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian


Bài 1.Cho các vectơ: \(\overrightarrow u  = \overrightarrow i  - 2\overrightarrow j \,;\,\overrightarrow v  = 3\overrightarrow i  + 5\left( {\overrightarrow j  - \overrightarrow k } \right)\,;\,\overrightarrow {\rm{w}}  = 2\overrightarrow i  - \overrightarrow k  + 3\overrightarrow j \)a) Tìm toạ độ...
Bài 2. Cho vectơ \(\overrightarrow u \) tùy ý khác \(\overrightarrow 0 \). Chứng minh rằng \({\cos ^2}\left( {\overrightarrow u,\overrightarrow i } \right) + {\cos ^2}\left( {\overrightarrow u,\overrightarrow j } \right) + {\cos ^2}\left( {\overrightarrow u,\overrightarrow k } \right) = 1\)GiảiGiả...
Bài 3. Tìm góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) trong mỗi trường hợp sau:a) \(\overrightarrow u  = \left( {1\,;\,1\,;\,1} \right)\,\,;\,\,\overrightarrow v  = \left( {2\,;\,1\,;\, - 1} \right)\).b) \(\overrightarrow u  = 3\overrightarrow i  + 4\overrightarrow j \,\,;\,\,\overrightarrow v ...
Bài 4. Biết \(\left| {\overrightarrow u } \right| = 2\,;\,\left| {\overrightarrow v } \right| = 5\), góc giữa vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) bằng \({{2\pi } \over 3}\). Tìm k để vectơ \(\overrightarrow p  = k\overrightarrow u  + 17\overrightarrow...
Bài 5. Cho điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\).a) Tìm toạ độ hình chiếu (vuông góc) của M trên các mặt phẳng toạ độ và trên các trục toạ độ.b) Tìm khoảng cách từ điểm M đến các mặt phẳng toạ độ,...
Bài 6. Cho hai điểm \(A\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(B\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\). Tìm toạ độ điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (tức là \(\overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {MB} \)), trong đó \(k \ne 1\).GiảiGiả sử \(M\left( {x;y;z}...
Bài 7. Cho hình bình hành ABCD với A(-3 ; -2 ; 0), B(3 ; -3 ; 1), C(5 ; 0 ; 2). Tìm toạ độ đỉnh D và tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BD} \).GiảiTa...
Bài 8a) Tìm toạ độ điểm M thuộc trục Ox sao cho M cách đều hai điểm A(1 ; 2 ; 3) và B(-3 ; -3 ; 2).b) Cho ba điểm \(A\left( {2;0;4} \right)\,;\,\,B\left( {4;\sqrt 3 ;5} \right)\) và \(C\left(...
Bài 9Xét sự đồng phẳng của ba vectơ \(\overrightarrow u,\overrightarrow v \) và \(\overrightarrow {\rm{w}} \) trong mỗi trường hợp sau:a) \(\overrightarrow u \left( {4;3;4} \right)\,,\,\overrightarrow v \left( {2; - 1;2} \right)\,;\,\overrightarrow {\rm{w}} \left( {1;2;1} \right)\)b) \(\overrightarrow u \left( {1; - 1;1}...
Bài 10. Cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\,;\,B\left( {0;0;1} \right)\,;\,C\left( {2;1;1} \right)\)a) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng.b) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.c) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ...
Bài 11. Cho bốn điểm A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0), C(0 ; 0 ; 1) và D(-2 ; 1 ; -2).a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ...
Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = h, đáy là tam giác ABC vuông tại C, AC = b, BC = a. Gọi M là trung điểm của AC và N  là điểm sao cho \(\overrightarrow...
Bài 13. Tìm toạ độ tâm và tính bán kính của mỗi mặt cầu sau đây:a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 1 = 0\)b) \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x - 3y + 15z...
Bài 14. Trong mỗi trường hợp sau, hãy viết phương trình mặt cầu:a) Đi qua ba điểm A(0 ; 8 ; 0), B(4; 6 ; 2), C(0 ; 12 ; 4) và có tâm nằm trên mp(Oyz);b) Có bán kính...