Bài 1. Mặt cầu, khối cầu


Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau tại H và SH là đường cao của hình chóp đã cho.1) Chứng minh rằng bốn tâm mặt cầu ngoại tiếp các hình...
Cho hình chóp S.ABC có \(SA \bot mp(ABC),AB = c,AC = b\), \(\widehat {BAC} = \alpha \). Gọi B1, C1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Chứng mình rằng các điểm A, B, C,...
Chứng minh  rằng nếu tứ diện ABCD có tính chấtAB+CD = AC+BD = AD+BCThì có mặt cầu tiếp xác với các cạnh của tứ diện ABCD.GiảiGọi O1 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và các điểm tiếp...
Cho hình chóp S.ABC. Biết rằng có một mặt cầu bán kính r tiếp xúc với các cạnh của hình chóp và tâm I của mặt cầu nằm trên đường cao SH của hình chóp.1) Chứng minh rằng S.ABC là...
Cho hai tia Ax, By chéo nhau và vuông góc với nhau, AB là đường vuông góc chung, AB = a. Lấy các điểm C và D lần lượt thuộc Ax, By.1) Xác định tâm và bán kính mạt cầu...
Cho hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 nhận IJ là đường vuông góc chung \(\left( {I \in {d_1},J \in {d_2}} \right),{\rm{IJ}} = a\). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm I và vuông góc với d2, đặt \(\alpha...
Cho mặt cầu tâm O bán kính R và A là điểm cố định thuộc mặt cầu. Ba tia \(A{t_1},A{t_2},A{t_3}\) thay đổi, đôi một vuông góc với nhau và cắt mặt cầu tại các điểm B, C, D.1) Chứng minh...
Cho đường tròn đường kính AB = 2R nằm trong mặt phẳng (P). Gọi O1 là điểm đối xứng với O qua A. Lấy điểm S sao cho SO1 vuông góc với (P) và SO1 = 2R. Tính thể tích của...
Trong số các hình hộp nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước, tìm hình hộp thỏa mãn một trong các tính chất sau:1) Thể tích hình hộp đạt giá trị lớn nhất ;2) Tổng độ dài các...
Trong số các hình chóp tam giác đều nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước, hãy xác định hình chóp có thể tích lớn nhất. Mở rộng bài toán cho hình chóp n- giác đều.GiảiDễ thấy \(R...
Trong số các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp một mặt cầu bán kính r cho trước, tìm hình chóp có diện tích toàn phần nhỏ nhất.GiảiKí hiệu cạnh đáy của hình chóp là a, chiều cao là h,...
Cho hình chóp S.ABC. Biết rằng có một mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC tại trung điểm của mỗi cạnh, đồng thời mặt cầu đó đi qua trung điểm của các cạnh SA, SB, SC.1)...
Cho tam giác ABC vuông ở A, BC = 2a,  \(\widehat {ACB}\)  =300. Xét hai tia Bx, Cy cùng hướng và cùng vuông góc với mp(ABC).1) Xác định vị trí điểm B1 trên Bx sao cho mặt cầu đường kính...
Cho tứ diện ABCD, biết AB=BC=AC=BD=a, AD=b, hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) vuông góc với nhau.a) Chứng minh rằng tam giác ACD vuông.b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.Giảia)Gọi \(I\) là trung điểm của CD,...
Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) nằm trên hai mặt phẳng song song (P) và (Q) sao cho OO’ vuông góc với (P). Đặt OO’ = h. Chứng minh rằng có mặt cầu đi qua hai đường tròn trên,...
Cho tam giác đều ABC cạnh a. Xét đường thẳng \(\Delta \) đi qua A và vuông góc với mp(ABC). Gọi S là điểm bất kì trên \(\Delta \), S khác A.1) Khi SA=h (h cho trước ), hãy tính diện...
Cho hình lăng trụ đứng có chiều cao h không đổi, đáy là tứ diện ABCD, trong đó A, B, C, D thay đổi và \(\overrightarrow {IA}.\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow {IB}.\overrightarrow {ID}  =  - {h^2},\) với I là giao điểm...
Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi (P) là mặt phẳng qua cạnh BC và vuông góc với mp(ABC). Gọi (C) là đường tròn đường kính BC trong mp(P) và S là điểm bất kì thuộc (C). Khi S thay...
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao SH bằng \({a \over 2}.\)1) Chứng minh rằng tồn tại mặt cầu tâm H tiếp xúc với tất cả các mặt bên của hình chóp. Tính...