Bài 1 trang 145 SGK Giải tích 12


    Đề bàiCho hàm số:  \(f(x) = ax^2– 2(a + 1)x + a + 2 ( a ≠ 0)\)a) Chứng tỏ rằng phương trình \(f(x)  = 0\) luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó.b) Tính tổng \(S\) và tích \(P\) của các nghiệm của phương trình \(f(x) = 0\). Khảo...

    Đề bài

    Cho hàm số:  \(f(x) = ax^2– 2(a + 1)x + a + 2 ( a ≠ 0)\)

    a) Chứng tỏ rằng phương trình \(f(x)  = 0\) luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó.

    b) Tính tổng \(S\) và tích \(P\) của các nghiệm của phương trình \(f(x) = 0\). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số của \(S\) và \(P\) theo \(a\).

    Phương pháp giải – Xem chi tiếtBài 1 trang 145 SGK Giải tích 12

    a) Nhẩm nghiệm, đưa phương trình \(f(x)=0\) về dạng phương trình tích để tìm nghiệm của phương trình.

    b) Dựa vào hệ thức Vi-ét để tính tổng và tích các nghiệm của phương trình \(f(x)=0.\)

    +) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số và vẽ đồ thị hàm số qua các bước đã được học.  

    Lời giải chi tiết

    Ta có: \(f(x) = ax^2– 2(a + 1)x + a + 2 = (x – 1)(ax – a- 2)\) nên phương trình \(f(x) = 0\) luôn có hai nghiệm thực là:

    \(x = 1\) và \( x = {{a + 2} \over a}.\)

    Theo định lí Vi-et, tổng và tích của các nghiệm đó là:

     \(S = {{2a + 2} \over a},P = {{a + 2} \over a}\)

    1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(S = {{2a + 2} \over a} = 2 + {2 \over a}\)

    – Tập xác định: \((-∞; 0) ∪ (0,\; +∞)\)

    – Sự biến thiên: \(S’ =  – {2 \over {{a^2}}} < 0,\forall a \in ( – \infty ; 0) \cup (0; + \infty )\) nên hàm số nghịch biến trên hai khoảng \((-∞; 0)\) và \((0; +∞)\)

    – Cực trị: Hàm số không có cực trị.

    – Giới hạn tại vô cực và tiệm cận ngang.

    \(\eqalign{
    & \mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } S = \mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } (2 + {2 \over a}) = 2 \cr
    & \mathop {\lim }\limits_{a \to – \infty } S = \mathop {\lim }\limits_{a \to – \infty } (2 + {2 \over a}) = 2 \cr} \)

    Vậy \(S = 2\) là tiệm cận ngang

    – Giới hạn vô cực và tiệm cận đứng:

    \(\eqalign{
    & \mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ + }} S = \mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ + }} (2 + {2 \over a}) = + \infty \cr
    & \mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ – }} S = \mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ – }} (2 + {2 \over a}) = – \infty \cr} \)

    Vậy \(a = 0\) là tiệm cận đứng.

    – Bảng biến thiên:

    Bài 1 trang 145 SGK Giải tích 12

    Đồ thị hàm số:

    Bài 1 trang 145 SGK Giải tích 12

    Đồ thị không cắt trục tung, cắt trục hoành tại \(a = -1\)

    2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(P = {{a + 2} \over a} = 1 + {2 \over a}\)

    Tập xác định: \(D = \mathbb R\backslash {\rm{\{ }}0\} \)

     \(P’ = {{ – 2} \over {{a^2}}} < 0,\forall a \in D\)

    \(\mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ – }} S =  – \infty  ⇒ \) Tiệm cận đứng: \(a = 0\)

    \(\mathop {\lim }\limits_{a \to  \pm \infty } S = 1⇒\) Tiệm cận ngang: \(P = 1\)

    Bài 1 trang 145 SGK Giải tích 12

    Đồ thị hàm số:

    Bài 1 trang 145 SGK Giải tích 12

    Ngoài ra: đồ thị hàm số \(P = {{a + 2} \over a} = 1 + {2 \over a}\) có thể nhận được bằng cách tịnh tiến đồ thị \(S = {{2a + 2} \over a} = 2 + {2 \over a}\) dọc theo trục tung xuống phía dưới \(1\) đơn vị.