Bài 10 trang 147 SGK Giải tích 12


    Đề bàiGiải các bất phương trình saua) \({{{2^x}} \over {{3^x} - {2^x}}} \le 2\)b) \({({1 \over 2})^{{{\log }_2}({x^2} - 1)}} > 1\)c) \({\log ^2}x + 3\log x \ge 4\)d) \({{1 - {{\log }_4}x} \over {1 + {{\log }_2}x}} \le {1 \over 4}.\)Phương pháp giải - Xem chi tiết+) Sử dụng...

    Đề bài

    Giải các bất phương trình sau

    a) \({{{2^x}} \over {{3^x} – {2^x}}} \le 2\)

    b) \({({1 \over 2})^{{{\log }_2}({x^2} – 1)}} > 1\)

    c) \({\log ^2}x + 3\log x \ge 4\)

    d) \({{1 – {{\log }_4}x} \over {1 + {{\log }_2}x}} \le {1 \over 4}.\)

    Phương pháp giải – Xem chi tiếtBài 10 trang 147 SGK Giải tích 12

    +) Sử dụng các phương pháp giải bất phương trình mũ và logarit để làm bài.

    +) \({\left( a \right)^{f\left( x \right)}} < b \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    \left\{ \begin{array}{l}
    a > 1\\
    f\left( x \right) < {\log _a}b
    \end{array} \right.\\
    \left\{ \begin{array}{l}
    0 < a < 1\\
    f\left( x \right) > {\log _a}b
    \end{array} \right.
    \end{array} \right..\)

    +) \({\log _a}f\left( x \right) > b \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    \left\{ \begin{array}{l}
    a > 1\\
    f\left( x \right) > {a^b}
    \end{array} \right.\\
    \left\{ \begin{array}{l}
    0 < a < 1\\
    f\left( x \right) < {a^b}
    \end{array} \right.
    \end{array} \right..\)

    Lời giải chi tiết

     a) Ta có:

     \({{{2^x}} \over {{3^x} – {2^x}}} \le 2 \Leftrightarrow {1 \over {{{({3 \over 2})}^x} – 1}} \le 2\)

    Đặt \(t = {({3 \over 2})^2}(t > 0)\) , bất phương trình trở thành:

    \(\eqalign{
    & {1 \over {t – 1}} \le 2 \Leftrightarrow {1 \over {t – 1}} – 2 \le 0 \Leftrightarrow {{ – 2t + 3} \over {t – 1}} \le 0 \cr
    & \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    0 < t < 1 \hfill \cr
    t \ge {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    {({3 \over 2})^x} < 1 \hfill \cr
    {({3 \over 2})^2} \ge {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    x < 0 \hfill \cr
    x \ge 1 \hfill \cr} \right.. \cr} \)

     b) Ta có:

    \(\eqalign{
    & {({1 \over 2})^{{{\log }_2}({x^2} – 1)}} > 1 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    {x^2} – 1 > 0 \hfill \cr
    {\log _2}({x^2} – 1) < 0 \hfill \cr} \right. \cr
    & \Leftrightarrow 0 < {x^2} – 1 < 1 \Leftrightarrow 1 < |x| < \sqrt 2 \cr
    & \Leftrightarrow x \in ( – \sqrt 2, – 1) \cup (1,\sqrt 2 ) \cr} \)

    c) Điều kiện: \(x > 0\)

    \(\eqalign{
    & {\log ^2}x + 3\log x \ge 4 \Leftrightarrow (\log x + 4)(logx – 1) \ge 0 \cr
    & \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    {\mathop{\rm logx}\nolimits} \ge 1 \hfill \cr
    logx \le – 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    x \ge 10 \hfill \cr
    0 < x \le {10^{ – 4}} \hfill \cr} \right. \cr} \)

     d) Ta có: 

    \(\eqalign{
    & {{1 – {{\log }_4}x} \over {1 + {{\log }_2}x}} \le {1 \over 4} \Leftrightarrow {{1 – {{\log }_4}x} \over {1 + 2{{\log }_4}x}} \le {1 \over 4} \cr  &  \Leftrightarrow \frac{{4 – 4{{\log }_4}x – 1 – 2{{\log }_4}x}}{{4\left( {1 + {{\log }_4}x} \right)}} \le 0 \cr
    & \Leftrightarrow {{3 – 6{{\log }_4}x} \over {1 + 2{{\log }_4}x}}\le0  \cr 
    & \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    {\log _4}x \le {{ – 1} \over 2} \hfill \cr
    {\log _4}x \ge {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    0 < x < {1 \over 2} \hfill \cr
    x \ge 2 \hfill \cr} \right..\cr} \)