Bài 10 trang 78 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 10. Chứng minh:

a) \(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 }  – \sqrt {4 – 2\sqrt 3 }  = 2;\) 

b) \(\root 3 \of {9 + \sqrt {80} }  + \root 3 \of {9 – \sqrt {80} }  = 3\)

Giải

a) Ta có \(4 \pm 2\sqrt 3  = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \pm 2\sqrt 3  + 1 = {\left( {\sqrt 3  \pm 1} \right)^2}\)

nên \(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 }  – \sqrt {4 – 2\sqrt 3 }  = \left( {\sqrt 3  + 1} \right) – \left( {\sqrt 3  – 1} \right) = 2\)

b) Đặt \(x = \root 3 \of {9 + \sqrt {80} }  + \root 3 \of {9 – \sqrt {80} } \)

Ta có \({x^3} = {\left( {\root 3 \of {9 + \sqrt {80} }  + \root 3 \of {9 – \sqrt {80} } } \right)^3}\)

\( = 9 + \sqrt {80}  + 9 – \sqrt {80}  + 3\root 3 \of {9 + \sqrt {80} }.\root 3 \of {9 – \sqrt {80} }.x\)

\( = 18 + 3\root 3 \of {81 – 80}.x = 18 + 3x\).

Do đó: \({x^3} – 3x – 18 = 0\,\,\left( * \right)\)

Mà \({x^3} – 3x – 18 = \left( {x – 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 6} \right)\) nên từ phương trình đã cho suy ra

x=3 (vì \({x^2} + 3x + 6 > 0,\forall x\))

Vậy \(\root 3 \of {9 + \sqrt {80} }  + \root 3 \of {9 – \sqrt {80} }  = 3\)