Bài 11 trang 147 SGK Giải tích 12


    Đề bàiTính các tích phân sau bằng phương pháp tính tích phân từng phầna) \(\int_1^{{e^4}} {\sqrt x } \ln xdx\)b) \(\int_{{\pi  \over 6}}^{{\pi  \over 2}} {{{xdx} \over {{{\sin }^2}x}}} \)c) \(\int_0^\pi  {(\pi  - x)\sin {\rm{x}}dx} \)d) \(\int_{ - 1}^0 {(2x + 3){e^{ - x}}} dx\)Phương pháp giải - Xem chi...

    Đề bài

    Tính các tích phân sau bằng phương pháp tính tích phân từng phần

    a) \(\int_1^{{e^4}} {\sqrt x } \ln xdx\)

    b) \(\int_{{\pi  \over 6}}^{{\pi  \over 2}} {{{xdx} \over {{{\sin }^2}x}}} \)

    c) \(\int_0^\pi  {(\pi  – x)\sin {\rm{x}}dx} \)

    d) \(\int_{ – 1}^0 {(2x + 3){e^{ – x}}} dx\)

    Phương pháp giải – Xem chi tiếtBài 11 trang 147 SGK Giải tích 12

    +) Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để tính tích phân.

    +) Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân.

    +) Sử dụng công thức tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {u\left( x \right)dv\left( x \right)}  = \left. {u\left( x \right).v\left( x \right)} \right|_a^b – \int\limits_a^b {v\left( x \right)du\left( x \right).} \)

    Lời giải chi tiết

    a) Đặt  \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = \sqrt x dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{x}dx\\v = \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}\end{array} \right..\)

    \(\begin{array}{l}
    \Rightarrow \int\limits_1^{{e^4}} {\sqrt x \ln xdx} = \left. {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}\ln x} \right|_1^{{e^4}} – \int\limits_1^{{e^4}} {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}.\frac{1}{x}dx} \\
    = \frac{8}{3}{e^6} – \int\limits_1^{{e^4}} {\frac{2}{3}{x^{\frac{1}{2}}}dx} = \frac{8}{3}{e^6} – \left. {\frac{2}{3}.\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}} \right|_1^{{e^4}}\\
    = \frac{8}{3}{e^6} – \frac{4}{9}{e^6} + \frac{4}{9}= \frac{20}{9}{e^6}+ \frac{4}{9}.
    \end{array}\)

    b) Ta có: 

    \(\eqalign{
    & \int_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} {{{xdx} \over {{{\sin }^2}x}}} = \int\limits_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} {xd( – \cot x) = – x\cot x\left| {_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}}} \right.} + \int\limits_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} {\cot xdx} \cr
    & = {{\pi \sqrt 3 } \over 6} + \int\limits_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} {{{d\sin x} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}} = {{\pi \sqrt 3 } \over 6} + \ln |sinx|\left| {_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}}} \right. = {{\pi \sqrt 3 } \over 6} + \ln 2 \cr} \)

     c) Ta có: 

    \(\eqalign{
    & \int_0^\pi {(\pi – x)\sin {\rm{x}}dx} = \int\limits_0^\pi {(\pi – x)d( – {\mathop{\rm cosx}\nolimits} )} \cr
    & = – (\pi – x)cosx\left| {_0^\pi } \right. + \int\limits_0^\pi {{\mathop{\rm cosxd}\nolimits} (\pi – x) = \pi – s{\rm{inx}}\left| {_0^\pi } \right.} = \pi \cr} \)

     d) Ta có: 

    \(\eqalign{
    & \int_{ – 1}^0 {(2x + 3){e^{ – x}}} dx = \int\limits_{ – 1}^0 {(2x + 3)d( – {e^{ – x}}} ) \cr
    & = (2x + 3){e^{ – x}}\left| {_0^{ – 1}} \right. + \int\limits_{ – 1}^e {{e^{ – x}}}.2dx = e – 3 + 2{e^{ – x}}\left| {_0^1} \right. = 3e – 5 \cr} \)