Bài 11 trang 16 và 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 11. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = {1 \over 3}{x^3} + 2{x^2} + 3x – 1\);

b) \(f\left( x \right) = {1 \over 3}{x^3} – {x^2} + 2x – 10\)

c) \(f\left( x \right) = x + {1 \over x}\);

d) \(f\left( x \right) = \left| x \right|\left( {x + 2} \right);\)

e) \(f\left( x \right) = {{{x^5}} \over 5} – {{{x^3}} \over 3} + 2\);

f) \(f\left( x \right) = {{{x^2} – 3x + 3} \over {x – 1}}\)

Giải

a) TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(f’\left( x \right) = {x^2} + 4x + 3;\,f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = – 1 \hfill \cr
x = – 3 \hfill \cr} \right.;f\left( { – 1} \right) = – {7 \over 3};\,f\left( { – 3} \right) = – 1\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x =  – 3\), giá trị cực đại của hàm số là \(f\left( { – 3} \right) =  – 1\)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x =  – 1\), giá trị cực tiểu của hàm số là \(f\left( { – 1} \right) =  – {7 \over 3}\)

b) TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(f’\left( x \right) = {x^2} – 2x + 2 > 0\) với mọi \(x \in\mathbb R\) (vì \(a > 0,\Delta ‘ < 0\))

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\), không có cực trị.
c) TXĐ: \(D = \mathbb R\backslash \left\{ 0 \right\}\)

\(f’\left( x \right) = 1 – {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} – 1} \over {{x^2}}};f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1\,\,\,\,;f\left( 1 \right) = 2 \hfill \cr
x = – 1;f\left( { – 1} \right) = – 2 \hfill \cr} \right.\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=-1\), giá trị cực đại \(f\left( { – 1} \right) =  – 2\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=1\), giá trị cực tiểu \(f\left( 1 \right) = 2\).

d) TXĐ: \(D=\mathbb R\) Hàm số liên tục trên \(\mathbb R\)

\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
x\left( {x + 2} \right)\,\,\,\,\,\,\,x \ge 0 \hfill \cr
– x\left( {x + 2} \right)\,\,\,\,\,x < 0\, \hfill \cr} \right.\)

Với \(x > 0:\,f’\left( x \right) = 2x + 2 > 0\) với mọi \(x>0\)

Với \(x < 0:\,f’\left( x \right) =  – 2x – 2\,;\,\,f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x =  – 1\)

\(f\left( { – 1} \right) = 1\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), giá trị cực đại \(f\left( { – 1} \right) = 1\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\), giá trị cực tiểu \(f\left( 0 \right) = 0\)

e) TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(f’\left( x \right) = {x^4} – {x^2} = {x^2}\left( {{x^2} – 1} \right)\)

\(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0;f\left( 0 \right) = 2 \hfill \cr
x = – 1;f\left( { – 1} \right) = {{32} \over {15}} \hfill \cr
x = 1;f\left( 1 \right) = {{28} \over {15}} \hfill \cr} \right.\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=-1\), giá trị cực đại \(f\left( { – 1} \right) = {{32} \over {15}}\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\), giá trị cực tiểu \(f\left( 1 \right) = {{28} \over {15}}\)

f) TXĐ: \(D = {\bf{R}}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

\(y’\left( x \right) = {{\left( {2x – 3} \right)\left( {x – 1} \right) – \left( {{x^2} – 3x + 3} \right)} \over {{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} = {{{x^2} – 2x} \over {{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\)

\(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0;f\left( 0 \right) = – 3 \hfill \cr
x = 2;f\left( 2 \right) = 1 \hfill \cr} \right.\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=0\), giá trị cực đại \(f\left( 0 \right) =  – 3\)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=2\), giá trị cực tiểu \(f\left( 2 \right) = 1\)