Bài 13 Trang 153 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 13.

a) Chứng minh rằng nếu \(f\left( x \right) \ge 0\) trên \(\left[ {a;b} \right]\) thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx \ge 0.} \) 

b) Chứng minh rằng nếu \(f\left( x \right) \ge g\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;b} \right]\) thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \ge \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}.\) 

Giải

a) Ta có \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,x = b,\) do đó \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx \ge 0.} \)

b)  Đặt \(h\left( x \right) = f\left( x \right) – g\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x \in \left[ {a;b} \right].\)

Theo a) ta có: \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]}  \ge 0 \Rightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx – \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}  \ge 0 \Rightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx \ge \int\limits_a^b {g\left( x \right)} dx.\)