Bài 13 trang 191 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 13

Giải các phương trình sau (với ẩn z)

a) \(iz + 2 – i = 0\);                                    

b) \(\left( {2 + 3i} \right)z = z – 1\);

c) \(\left( {2 – i} \right)\overline z  – 4 = 0\);                              

d) \(\left( {iz – 1} \right)\left( {z + 3i} \right)\left( {\overline z  – 2 + 3i} \right) = 0\);

e) \({z^2} + 4 = 0\);

Giải

a) \(iz + 2 – i = 0 \Leftrightarrow iz = i – 2 \Leftrightarrow z = {{ – 2 + i} \over i} = {{\left( { – 2 + i} \right)i} \over { – 1}} \Leftrightarrow z = 1 + 2i\)

b) \(\left( {2 + 3i} \right)z = z – 1 \Leftrightarrow \left( {1 + 3i} \right)z =  – 1\)

                              \( \Leftrightarrow z = {{ – 1} \over {1 + 3i}} = {{ – 1 + 3i} \over {\left( {1 + 3i} \right)\left( {1 – 3i} \right)}} = {{ – 1 + 3i} \over {10}} =  – {1 \over {10}} + {3 \over {10}}i\)

c) \(\left( {2 – i} \right)\overline z  – 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right)z = 4 \Leftrightarrow z = {4 \over {2 + i}} = {{4\left( {2 – i} \right)} \over 5} \Leftrightarrow z = {8 \over 5} – {4 \over 5}i\)

d) \(\left( {iz – 1} \right)\left( {z + 3i} \right)\left( {\overline z  – 2 + 3i} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  iz – 1 = 0 \hfill \cr  z + 3i = 0 \hfill \cr  \overline z  – 2 + 3i = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{  z = {1 \over i} =  – i \hfill \cr  z =  – 3i \hfill \cr  z = 2 + 3i \hfill \cr}  \right.\)

Vậy tập nghiệm phương trình là \(S = \left\{ { – i, – 3i,2 + 3i} \right\}\)

e) \({z^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow {z^2} – 4{i^2}=0 \Leftrightarrow \left( {z – 2i} \right)\left( {z + 2i} \right) = 0 \Leftrightarrow z = 2i\text{ hoặc } z =  – 2i\).

Vậy \(S = \left\{ {2i, – 2i} \right\}\)