Bài 14 trang 191 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 14

a) Cho số phức \(z=x+yi\). Khi \(z \ne i\), hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức \({{z + i} \over {z – i}}\)

b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \({{z + i} \over {z – i}}\) là số thực dương.

Giải

a) Ta có:

   \({{z + i} \over {z – i}} = {{x + \left( {y + 1} \right)i} \over {x + \left( {y – 1} \right)i}} = {{\left[ {x + \left( {y + 1} \right)i} \right]\left[ {x – \left( {y – 1} \right)i} \right]} \over {{x^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2}}} = {{{x^2} + {y^2} – 1} \over {{x^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2}}} + {{2x} \over {{x^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2}}}i\)

Vậy phần thực là \({{{x^2} + {y^2} – 1} \over {{x^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2}}}\), phần ảo là \({{2x} \over {{x^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2}}}\).

b) Với \(z \ne i\), \({{z + i} \over {z – i}}\) là số thực dương khi và chỉ khi

\(\left\{ \matrix{  x = 0 \hfill \cr  {x^2} + {y^2} – 1 > 0 \hfill \cr}  \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
{y^2} > 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
\left[ \matrix{
y > 1 \hfill \cr
y < – 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)

Vậy quỹ tích là trục ảo bỏ đoạn thẳng nối \(I, J\) ( \(I\) biểu diễn \(i\) và \(J\) biểu diễn \(-i\)).