Bài 18 Trang 161 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 18. Dùng phương pháp tích phân từng phần để tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_1^2 {{x^5}} \ln xdx;\)               b) \(\int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right)} {e^x}dx;\)       

c) \(\int\limits_0^\pi  {{e^x}} \cos xdx;\)         d) \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\cos xdx.} \)

Giải

a) Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = \ln x \hfill \cr
dv = {x^5}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {{dx} \over x} \hfill \cr
v = {{{x^6}} \over 6} \hfill \cr} \right.\)

 \(\int\limits_1^2 {{x^5}} \ln xdx = \left. {{{{x^6}} \over 6}\ln x} \right|_1^2 – {1 \over 6}\int\limits_1^2 {{x^5}} dx = \left. {\left( {{{{x^6}} \over 6}\ln x – {{{x^6}} \over {36}}} \right)} \right|_1^2 = {{32} \over 3}\ln 2 – {7 \over 4}\)

b) Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = x + 1 \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right.\)

\(\int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right)} {e^x}dx = \left. {\left( {x + 1} \right){e^x}} \right|_0^1 – \int\limits_0^1 {{e^x}dx = e} \)

c) Đặt \(I = \int\limits_0^\pi  {{e^x}\cos xdx} \)

Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = {e^x} \hfill \cr
dv = \cos xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {e^x}dx \hfill \cr
v = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \hfill \cr} \right.\)

Suy ra \(I = \left. {{e^x}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right|_0^\pi  – \int\limits_0^\pi  {{e^x}\sin {\rm{x}}dx}  =  – \int\limits_0^\pi  {{e^x}\sin {\rm{x}}dx} \) 

Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = {e^x} \hfill \cr
dv = \sin {\rm{x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {e^x}dx \hfill \cr
v = – \cos x \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(I =  – \left[ {\left. {\left( { – {e^x}\cos x} \right)} \right|_0^\pi  + \int\limits_0^\pi  {{e^x}\cos xdx} } \right] = {e^\pi }\cos \pi  – {e^0}.\cos 0 – I\)

\( \Rightarrow 2I =  – {e^\pi } – 1 \Rightarrow I =  – {1 \over 2}\left( {{e^\pi } + 1} \right)\)      

b) Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = \cos xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\cos xdx = \left. {x\sin x} \right|_0^{{\pi  \over 2}}}  – \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {\sin {\rm{x}}dx = \left. {\left( {x\sin x + \cos x} \right)} \right|_0^{{\pi  \over 2}}}  = {\pi  \over 2} – 1\)