Bài 2.35 trang 125 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các phương trình logarit:

a) \({\log _2}({2^x} + 1).{\log _2}({2^{x + 1}} + 2) = 2\)

b) \({x^{\log 9}} + {9^{\log x}} = 6\)

c) \({x^{3{{\log }^3}x – \frac{2}{3}\log x}} = 100\sqrt[3]{{10}}\)                                                          

d) \(1 + 2{\log _{x + 2}}5 = {\log _5}(x + 2)\)

Hướng dẫn làm bài:

a) \({\log _2}({2^x} + 1).{\log _2}{\rm{[}}2({2^x} + 1){\rm{]}} = 2\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}({2^x} + 1).{\rm{[}}1 + {\log _2}({2^x} + 1){\rm{]}} = 2\)

Đặt \(t = {\log _2}({2^x} + 1)\) , ta có phương trình  

\(t(1 + t) = 2 ⇔ {t^2} + t – 2 = 0\)

\(\eqalign{& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t = 1} \cr {t = – 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{{\log }_2}({2^x} + 1) = 1} \cr {{{\log }_2}({2^x} + 1) = – 2} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{2^x} + 1 = 2} \cr {{2^x} + 1 = {1 \over 4}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{2^x} = 1} \cr {{2^x} = – {3 \over 4}(l)} \cr} } \right. \Leftrightarrow x = 0 \cr} \)

b) Với điều kiện x > 0, ta có: \(\log ({x^{\log 9}}) = \log ({9^{\log x}})\)

\(\log ({x^{\log 9}}) = \log 9.\log x\)  và \(\log ({9^{\log x}}) = \log x.\log 9\)

Nên \(\log ({x^{\log 9}}) = \log ({9^{\log x}})\)   

Suy ra:

\({t^4} + 14{t^2} – 32t + 17 = 0\)

\( \Leftrightarrow {(t – 1)^2}({t^2} + 2t + 17) = 0 \Leftrightarrow t = 1\)  \({x^{\log 9}} = {9^{\log x}}\)

Đặt \(t = {x^{\log 9}}\) , ta được phương trình \(2t = 6 ⇔ t = 3 ⇔ {x^{\log 9}} = 3\) 

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \log ({x^{\log 9}}) = \log 3 \cr
& \Leftrightarrow \log 9.\log x = \log 3 \cr
& \Leftrightarrow \log x = {{\log 3} \over {\log 9}} \cr
& \Leftrightarrow \log x = {1 \over 2} \cr}\)

\(\Leftrightarrow x = \sqrt {10} \) (thỏa mãn điều kiện x > 0)

c) Với điều kiện x > 0, lấy logarit thập phân hai vế của phương trình đã cho, ta được:

    \((3{\log ^3}x – \frac{2}{3}\log x).\log x = \frac{7}{3}\)               

Đặt \(t = \log x\) , ta được phương trình \(3{t^4} – \frac{2}{3}{t^2} – \frac{7}{3} = 0\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 9{t^4} – 2{t^2} – 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{t^2} = 1 \hfill \cr
{t^2} = – {7 \over 9}\left( {loại} \right) \hfill \cr} \right.\left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = – 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\log x = 1 \hfill \cr
\log x = – 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 10 \hfill \cr
x = {1 \over {10}} \hfill \cr} \right. \cr} \)

d) Đặt \(t = {\log _5}(x + 2)\) với điều kiện \(x + 2{\rm{ }} > 0,\,\,x + 2 \ne 1\) , ta có:

\(\eqalign{& 1 + {2 \over t} = t \Leftrightarrow {t^2} – t – 2 = 0,t \ne 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t = – 1} \cr {t = 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{{\log }_5}(x + 2) = – 1} \cr {{{\log }_5}(x + 2) = 2} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x + 2 = {1 \over 5}} \cr {x + 2 = 25} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = – {9 \over 5}} \cr {x = 23} \cr} } \right.} \right. \cr} \)