Bài 2.37 trang 126 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải phương trình: \({4^{2x + \sqrt {x + 2} }} + {2^{{x^3}}} = {4^{2 + \sqrt {x + 2} }} + {2^{{x^3} + 4x – 4}}\) (Đề thi đại học năm 2010, khối D)

Hướng dẫn làm bài:

Điều kiện: \(x \ge  – 2\)

Phương trình tương đương với:

\(({2^{4x}} – {2^4})({2^{2\sqrt {x + 2} }} – {2^{{x^3} – 4}}) = 0\). Suy ra:

\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{2^{4x}} – {2^4} = 0}\\
{{2^{2\sqrt {x + 2} }} – {2^{{x^3} – 4}} = 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1}\\
{2\sqrt {x + 2} = {x^3} – 4}
\end{array}} \right.\)            

Nhận thấy \(x \ge \sqrt[3]{4}\)và phương trình có một nghiệm x = 2. Trên \({\rm{[}}\sqrt[3]{4}; + \infty )\), hàm số  \(f(x) = 2\sqrt {x + 2}  – {x^3} + 4\) có đạo hàm \(f(x) = 2\sqrt {x + 2}  – {x^3} + 4\)  nên f(x) luôn nghịch biến. Suy ra x = 2 là nghiệm duy nhất.

Vậy phương trình có nghiệm x = 1; x = 2.