Bài 2.55 trang 104 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10


    Cho hình bình hành ABCD có AB = 3a, AD = 5a, góc BAD bằng \({120^0}\)a) Tìm các tích vô hướng sau: \(\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AD,} \overrightarrow {AC}.\overrightarrow {BD} \)b) Tính độ dài BD và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Gợi ý làm bàia) \(\eqalign{ & \overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AD} =...

    Cho hình bình hành ABCD có AB = 3a, AD = 5a, góc BAD bằng \({120^0}\)

    a) Tìm các tích vô hướng sau: \(\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AD,} \overrightarrow {AC}.\overrightarrow {BD} \)

    b) Tính độ dài BD và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

    Gợi ý làm bài

    a) 

    \(\eqalign{
    & \overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AD} = AB.AD.cos\widehat {DAB} \cr
    & = 3a.5a.\cos {120^0} = – {{15{a^2}} \over 2} \cr} \)

    \(\eqalign{
    & \overrightarrow {AC}.\overrightarrow {BD} = (\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} )(\overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AB} ) \cr
    & = A{D^2} – A{B^2} = 16{a^2} \cr} \)

    b) 

    \(\eqalign{
    & {\overrightarrow {BD} ^2} = {(\overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AB} )^2} = A{D^2} + A{B^2} – 2\overrightarrow {AD}.\overrightarrow {AB} \cr
    & = 49{a^2} = > BD = 7a \cr} \)

    ABCD là hình bình hành nên: BC = AD = 5a;

    \(\widehat {BAD} + \widehat {ABC} = {180^0} =  > \widehat {ABC} = {60^0}\)

    Áp dụng định lí hàm số cô sin trong tam giác ABC, ta được:

    \(\eqalign{
    & A{C^2} = B{C^2} + A{B^2} – 2BC.AB.\cos \widehat {ABC} \cr
    & = 19{a^2} = > AC = a\sqrt {19} \cr} \)

    Áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác ABC, ta được:

    \(R = {{AC} \over {2\sin \widehat {ABC}}} = {{a\sqrt {19} } \over {2\sin {{60}^0}}} = a{{\sqrt {57} } \over 3}\)