Bài 2.55 trang 134 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các bất phương trình mũ sau:

a) \({(8,4)^{\frac{{x – 3}}{{{x^2} + 1}}}} < 1\)                                                               

b) \({2^{|x – 2|}} > {4^{|x + 1|}}\)

c) \(\frac{{{4^x} – {2^{x + 1}} + 8}}{{{2^{1 – x}}}} < {8^x}\)                                                          

d) \(\frac{1}{{{3^x} + 5}} \le \frac{1}{{{3^{x + 1}} – 1}}\)               

Hướng dẫn làm bài:

a) \(8,{4^{\frac{{x – 3}}{{{x^2} + 1}}}} < 8,{4^0} \Leftrightarrow \frac{{x – 3}}{{{x^2} + 1}} < 0 \Leftrightarrow x < 3\)

b) 

\(\eqalign{
& {2^{|x – 2|}} > {2^{2|x + 1|}} \Leftrightarrow |x – 2| > 2|x + 1| \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 4x + 4 > 4({x^2} + 2x + 1) \cr
& \Leftrightarrow 3{x^2} + 12x < 0 \cr
& \Leftrightarrow – 4 < x < 0 \cr} \)

c)

\(\eqalign{
& {2^{2x}} – {2.2^x} + 8 < {2^{3x}}{.2^{1 – x}} \cr
& \Leftrightarrow {2^{2x}} + {2.2^x} – 8 > 0 \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{t = {2^x},t > 0} \cr {{t^2} + 2t – 8 > 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{t = {2^x},t > 0} \cr {\left[ {\matrix{{t < – 4} \cr {t > 2} \cr} } \right.} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{t = {2^x}} \cr {t > 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow x > 1 \cr} \)

d) Đặt t = 3^x (t > 0), ta có bất phương trình \(\frac{1}{{t + 5}} \le \frac{1}{{3t – 1}}\)

Vì vế trái dương nên vế phải cũng phải dương, tức là \(3t – 1 > 0\).

Từ đó ta có hệ: 

\(\left\{ {\matrix{{3t – 1 \le t + 5} \cr {3t – 1 > 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow {1 \over 3} < t \le 3\)

Do đó  \(\frac{1}{3} < {3^x} \le 3\). Vậy \( – 1 < x \le 1\).