Bài 2.56 trang 104 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10


    Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A( - 5;6), B( - 4; - 1), C(4;3)a) Tính tọa độ trực tâm H của tam giác ABC;b) Tìm điểm M thuộc trục Oy sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|\) ngắn nhấtGợi ý làm bàia)...

    Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A( – 5;6), B( – 4; – 1), C(4;3)

    a) Tính tọa độ trực tâm H của tam giác ABC;

    b) Tìm điểm M thuộc trục Oy sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|\) ngắn nhất

    Gợi ý làm bài

    a) Gọi H(x; y). Ta có:

    \(\eqalign{
    & \overrightarrow {AH} = (x + 5;y – 6) \cr
    & \overrightarrow {CH} = (x – 4;y – 3) \cr} \)

    Và 

    \(\eqalign{
    & \overrightarrow {BC} = (8;4) \cr
    & \overrightarrow {AB} = (1; – 7) \cr} \)

    H là trực tâm giác ABC 

    \(\eqalign{
    & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    \overrightarrow {AH}.\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr
    \overrightarrow {CH}.\overrightarrow {AB} = 0 \hfill \cr} \right. \cr
    & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    8(x + 5) + 4(y – 6) = 0 \hfill \cr
    (x – 4) – 7(x – 3) = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    x = – 3 \hfill \cr
    y = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

    Vậy H(-3;2)

    b) Vì M thuộc trục Oy nên M(O;y).

    Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có tọa độ điểm G là \(\left( { – {5 \over 3};{8 \over 3}} \right)\) và \(d = \left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {MG} } \right|\)

    d đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow MG \bot Oy \Leftrightarrow y = {y_G} \Leftrightarrow y = {8 \over 3}\)

    Vậy \(M(0;{8 \over 3})\)