Bài 2.57 trang 105 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10


    Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A(2;4); B(3;1); C( - 1;1)a) Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;b) Chứng minh H, G, I thẳng hàng.Gợi ý làm bàiA(2;4), B(3;1), C( - 1;1)a) Tọa độ trọng tâm...

    Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A(2;4); B(3;1); C( – 1;1)

    a) Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;

    b) Chứng minh H, G, I thẳng hàng.

    Gợi ý làm bài

    A(2;4), B(3;1), C( – 1;1)

    a) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

    \(\left\{ \matrix{
    {x_G} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} \over 3} = {4 \over 3} \hfill \cr
    {y_G} = {{{y_A} + {y_B} + {y_C}} \over 3} = 2 \hfill \cr} \right.\)

    Vậy \(G\left( {{4 \over 3};2} \right)\)

    *Goi H(x; y), ta có:

    \(\overrightarrow {AB}  = (1; – 3);\overrightarrow {BC}  = ( – 4;0)\)

    \(\overrightarrow {CH}  = (x + 1;y – 1);\overrightarrow {AH}  = (x – 2;y – 4)\)

    H là trực tâm tam giác ABC 

    \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    AH \bot BC \hfill \cr
    CH \bot AB \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    \overrightarrow {AH}.\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr
    \overrightarrow {CH}.\overrightarrow {AB} = 0 \hfill \cr} \right.\)

    \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    – 4(x – 2) = 0 \hfill \cr
    (x + 1) – 3(y – 1) = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    x = 2 \hfill \cr
    y = 2 \hfill \cr} \right.\)

    *Gọi I(x; y), I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC \( \Leftrightarrow IA = IB = IC\)

    \(\eqalign{
    & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    {(x – 2)^2} + {(y – 4)^2} = {(x – 3)^2} + {(y – 1)^2} \hfill \cr
    {(x – 2)^2} + {(y – 4)^2} = {(x + 1)^2} + {(y – 1)^2} \hfill \cr} \right. \cr
    & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    x = 1 \hfill \cr
    y = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

    Vậy: I(1; 2)

    b) Ta có: \(\overrightarrow {IA}  = (1;0),\overrightarrow {IG}  = \left( {{1 \over 3};0} \right)\)

    =>\(\overrightarrow {IH},\overrightarrow {IG} \) cùng phương nên H, G, I thẳng hàng.