Bài 2.59 trang 105 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10


    Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b (với \(b \ne c\)) phân giác trong AD = k (D nằm trên cạnh BC), BD = d, CD = e. Chứng minh hệ thức: \({k^2} = bc - de\)Gợi ý làm bàiTa có AD là phân giác trong góc...

    Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b (với \(b \ne c\)) phân giác trong AD = k (D nằm trên cạnh BC), BD = d, CD = e. Chứng minh hệ thức: \({k^2} = bc – de\)

    Gợi ý làm bài

    Ta có AD là phân giác trong góc A của tam giác ABC nên \(\widehat {BAD} = \widehat {DAC}\)

    \( \Rightarrow \cos \widehat {BAD} = cos\widehat {DAC}\)

    \(\eqalign{
    & \Rightarrow {{A{B^2} + A{D^2} – B{D^2}} \over {2AB.AD}} = {{A{C^2} + A{D^2} – C{D^2}} \over {2AC.AD}} \cr
    & \Rightarrow {{{c^2} + {k^2} – {d^2}} \over {2c.k}} = {{{b^2} + {k^2} – {e^2}} \over {2b.k}} \cr
    & \Rightarrow b\left( {{c^2} + {k^2} – {d^2}} \right) = c\left( {{b^2} + {k^2} – {e^2}} \right)(*) \cr} \)

    Vì AD là phân giác trong góc A của tam ABC nên \({{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\)

    \( \Rightarrow bd = ce$\), từ (*) ta suy ra \(\left( {b – c} \right)\left( { – {k^2} + bc – be} \right) = 0\)

    \( \Rightarrow {k^2} = bc – de\) (vì \(b \ne c\)) (điều phải chứng minh)