Bài 2.62 trang 105 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10


    Cho tam giác ABC \(\widehat {BAC} = {60^ \circ }\), AB = 4 và AC = 6.a) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC},\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {BC} \), độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;b) Lấy các điểm M, N định bởi: \(2\overrightarrow {AM}  + 3\overrightarrow...

    Cho tam giác ABC \(\widehat {BAC} = {60^ \circ }\), AB = 4 và AC = 6.

    a) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC},\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {BC} \), độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;

    b) Lấy các điểm M, N định bởi: \(2\overrightarrow {AM}  + 3\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {NB}  + x\overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 (x \ne  – 1)\). Định x để AN vuông góc với BM.

    Gợi ý làm bài

    a) 

    \(\eqalign{
    & \overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos A \cr
    & = 4.6.\left( {{1 \over 2}} \right) = 12 \cr} \)

    \(\eqalign{
    & \overrightarrow {AB}.\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} ) \cr
    & = \overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC} – A{B^2} = 12 – 16 = – 4 \cr
    & B{C^2} = {(\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} )^2} \cr
    & = A{C^2} – 2\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC} + A{B^2} \cr
    & = 36 – 2.12 + 16 = 28 \cr
    & \Rightarrow BC = 2\sqrt {7.} \cr} \)

    \(R = {{BC} \over {2\sin A}} = {{2\sqrt 7 } \over {2.{{\sqrt 3 } \over 2}}} = {{2\sqrt {21} } \over 3}.\)

    b) 

    \(\eqalign{
    & 2\overrightarrow {AM} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \cr
    & \Leftrightarrow 2\overrightarrow {AM} + 3(\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AM} ) = \overrightarrow 0 \cr
    & \Rightarrow \overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AC} \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = 3\overrightarrow {AC} \cr
    & \Rightarrow \overrightarrow {BM} = 3\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} \cr} \)

    và \(\eqalign{
    & \overrightarrow {NB} + x\overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \cr
    & \Rightarrow \overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AN} + x(\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AN} ) = \overrightarrow 0 \cr} \)

    \( \Rightarrow \overrightarrow {AN}  = {1 \over {x + 1}}(\overrightarrow {AB}  + x\overrightarrow {AC} ).\)

    AN vuông góc với BM: \(\overrightarrow {AN}.\overrightarrow {BM}  = 0\)

    \(\eqalign{
    & \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} } \right)(3\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} ) = 0 \cr
    & \Leftrightarrow (3 – x)\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC} – A{B^2} + 3xA{C^2} = 0 \cr
    & \Leftrightarrow \left( {3 – x} \right).12 – 16 + 3x.36 = 0 \cr
    & \Leftrightarrow 96x + 20 = 0 \cr
    & \Leftrightarrow x = – {5 \over {24}} \cr} \)