Bài 2. Hai đường thẳng vuông góc


Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:\(\overrightarrow {G{\rm{D}}}.\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {G{\rm{D}}}.\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {G{\rm{D}}}.\overrightarrow {GC}  = 0\)Giải:Ta có:\(\eqalign{ & \overrightarrow {G{\rm{D}}}.\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GD}.\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD}.\overrightarrow {GC}...
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BD, AD và có MN = PQ. Chứng minh rằng AB ⊥ CD.Giải:Ta cần chứng minh \(\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {C{\rm{D}}}  = 0\)Đặt \(\overrightarrow {AB}...
Cho hình chóp tam giác S.ABC có \(SA = SB = SC = AB = AC = a\) và \(BC = a\sqrt 2 \). Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {SC} \).Giải:Ta tính côsin của góc giữa hai...
Cho hình chóp A.ABC có \(SA = SB = SC = AB = AC = a\) và \(BC = a\sqrt 2 \). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.Giải:Cách thứ nhấtDễ thấy tam giác ABC vuông tại A nên \(\overrightarrow {AC}.\overrightarrow...
Chứng minh rằng một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thằng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.Giải:Giả sử  \(a\parallel b\) và \(c \bot a\). Lấy điểm O bất kì trên c, kẻ \(a'\parallel a\) qua...
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau ( hình hộp như vậy còn được gọi là hình hộp thoi). Chứng minh rằng AC ⊥ B’D’Giải:Từ giả thiết suy ra tứ giác ABCD là hình thoi,...
Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và \(\widehat {ABC} = \widehat {B'BA} = \widehat {B'BC} = {60^0}\). Chứng minh tứ giác A’B’CD là hình vuông.Giải:Trước hết dễ thấy tứ giác A’B’CD là hình bình hành,...
Cho tứ diện ABCD trong đó \(AB \bot AC,AB \bot B{\rm{D}}\). Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB và PQ vuông góc với nhau.Giải:\(\eqalign{ & \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AC} +...