Bài 2. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp


Có bao nhiêu tập con của tập hợp gồm 4 điểm phân biệt?Giải: Số tập con của tập hợp gồm 4 điểm là\(C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4 = 16.\)
Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 10 ghế mà không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau, nếua)      Ghế sắp thành hàng ngang?b)      Ghế sắp quanh một bàn tròn?Giải:a)     ...
Chứng minh rằng với \(1 \le k \le n,\)\(C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_{n - 1}^k +... + C_{k + 1}^k + C_k^k\)Giải:\(\eqalign{ & C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_n^{k + 1} \cr &...
Sử dụng đồng nhất thức \({k^2} = C_k^1 + 2C_k^2\) để chứng minh rằng \({1^2} + {2^2} +... + {n^2} = \sum\limits_{k = 1}^n {C_k^1}  + 2\sum\limits_{K = 2}^N {C_k^2 = {{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 6}}\)Giải:Ta...
a)      Một lớp có 50 học sinh. Tính số cách phân công 4 bạn quét sân trường và 5 bạn xén cây bằng hai phương pháp để rút ra đẳng thức$$C_{50}^9.C_9^4 = C_{50}^4.C_{46}^5$$b)      Chứng minh công thức Niu-tơn $$C_n^r.C_r^k = C_n^k.C_{n...
Chứng minh rằng nếu n là số nguyên tố thì với r = 1,2,...,n - 1, ta có \(C_n^r\) chia hết cho n.Giải:Có thể chứng minh dễ dàng đẳng thức sau\(rC_n^r = nC_{n - 1}^{r - 1}\)     \({\rm{}}\left(...
Trong một đa giác đều bảy cạnh, kẻ các đường chéo. Hỏi có bao nhiêu giao điểm của các đường chéo, trừ các đỉnh?Giải: Mỗi giao điểmcủa hai đường chéoứng với một và chỉ một tập hợp gồm 4 điểmtừ...
Tìm số các số nguyên dương gồm năm chữ số sao cho mỗi chữ số của số đó lớn hơn chữ số ở bên phải nó.Giải:Có \(C_{10}^5\) cách chọn 5 chữ số khác nhau để lập số cần thiết. Nhưng khi...
Một cái khay tròn đựng bánh kẹo ngày Tết có 6 ngăn hình quạt màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách bày 6 loại bánh kẹo vào 6 ngăn đó?Giải:  Ta có: 6! = 720 cách bày bánh kẹo.
Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn nam và 5 bạn nữ vào 10 ghế được kê thành hàng ngang, sao cho: a)      Nam và nữ ngồi xen kẽ nhau?b)      Các bạn nam ngồi liền nhau?Giải:             Để xác định,...
Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn, trong đó có An và Bình, và 10 ghế kê thành hàng ngang, sao cho:a)      Hai bạn An và Bình ngồi cạnh nhau?b)      Hai bạn An và Bình không ngồi...
Thầy giáo có ba quyển sách Toán khác nhau cho ba bạn mượn (mỗi bạn một quyển). Sang tuần sau thầy giáo thu lại và tiếp tục cho ba bạn mượn ba quyển đó. Hỏi có bao nhiêu cách cho...
Bốn người đàn ông, hai người đàn bà và một đứa trẻ được xếp ngồi vào bảy chiếc ghế đặt quanh một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho: a)      Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn...
Ba quả cầu được đặt vào ba cái hộp khác nhau (không nhất thiết hộp nào cũng có quả cầu). Hỏi có bao nhiêu cách đặt,nếu: a)      Các quả cầu giống hệt nhau (không phân biệt)?b)      Các quả cầu đôi một...
Có bao nhiêu cách chia 10 người thành :a)      Hai nhóm, một nhóm 7 người, nhóm kia 3 người?b)      Ba nhóm tương ứng gồm 5, 3, 2 người? Giải: a)      Chọn 7 người từ 10 người để lập một nhóm, ba...
Một giá sách bốn tầng xếp 40 quyển sách khác nhau, mỗi tầng xếp 10 quyển. Hỏi có bao nhiêu cách chọn các quyển sách sao cho từ mỗi tầng có: a)      Hai quyển sách?b)      Tám quyển sách?Giải: a)      Có \(C_{10}^2\)...
Cô giáo chia 4 quả táo, 3 quả cam và 2 quả chuối cho 9 cháu (mỗi cháu một quả). Hỏi có bao nhiêu cách chia khác nhau?Giải: Đầu tiên coi các quả là khác nhau. Do vậy có 9!...
Một đoàn đại biểu gồm 4 học sinh được chọn từ một tổ gồm 5 nam và 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong đó có ít nhất một nam và ít nhất một nữ?Giải: Kí...
Từ tập hợp gồm 10 điểm nằm trên một đường tròn:a)      Vẽ được bao nhiêu tam giác?b)      Vẽ được bao nhiêu đa giác?Giải:a)      Cứ ba điểm vẽ được 1 tam giác.Vì vậy có thể vẽ được \(C_{10}^3 = 120\) tam...
Một đa giác lồi 20 cạnh có bao nhiêu đường chéo?Giải:Số đoạn nối hai đỉnh của đa giác đã cho là \(C_{20}^2.\)Số cạnh của đa giác là 20.Vậy số đường chéo là \(C_{20}^2 - 20 = 170.\)