Bài 2. Tích phân


 Tính các tích phân sau:a) \(\int\limits_0^1 {({y^3} + 3{y^2} - 2)dy} \)                                                       b)\(\int\limits_1^4 {(t...
Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến:a) \(\int\limits_1^2 {x{{(1 - x)}^5}dx} \)  (đặt  t = 1 – x)b)  \(\int\limits_0^{\ln 2} {\sqrt {{e^x} - 1} dx} \)   (đặt \(t = \sqrt {{e^x} - 1} \))c) \(\int\limits_1^9 {x\root 3...
Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính các tích phân sau:a)  \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\cos 2xdx} \)b) \(\int\limits_0^{\ln 2} {x{e^{ - 2x}}dx} \)c)   \(\int\limits_0^1 {\ln (2x + 1)dx} \)            ...
Tính các tích phân sau đây:a) \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {(x + 1)\cos (x + {\pi  \over 2}} )dx\)                                                       b) \(\int\limits_0^1 {{{{x^2} + x + 1} \over {x + 1}}{{\log }_2}(x + 1)dx} \)c) \(\int\limits_{{1 \over 2}}^1 {{{{x^2} - 1} \over...
Chứng minh rằng: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \int\limits_0^1 {{x^n}\sin \pi xdx = 0} \).Hướng dẫn làm bài Với \(x \in {\rm{[}}0;1]\) , ta có  \(0 \le {x^n}\sin \pi x \le {x^n}\) . Do đó:             ...
Chứng minh rằng hàm số f(x) cho bởi \(f(x) = \int\limits_0^x {{t \over {\sqrt {1 + {t^4}} }}} dt,x \in R\)  là hàm số chẵn.Hướng dẫn làm bàiĐặt t = - s trong tích phân:  \(f( - x) = \int\limits_0^{...
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a; a]. Chứng minh rằng:                              \(\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx = } \left\{ {\matrix{{2\int\limits_0^a {f(x)dx,(1)} } \cr {0,(2)}...
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Chứng minh rằng: \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {f(\sin x)dx = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {f(\cos x)dx} } \)Hướng dẫn làm bàiĐổi biến số: \(x = {\pi  \over 2} - t\) , ta...
Đặt  \({I_n} = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{\sin }^n}xdx},n \in {N^*}\)a) Chứng minh rằng  \({I_n} = {{n - 1} \over n}{I_{n - 2}},n > 2\)b) Tính I3 và I5.Hướng dẫn làm bàia) Xét với n > 2, ta có:  \({I_n} =...
Đặt \({I_{m,n}} = \int\limits_0^1 {{x^m}{{(1 - x)}^n}} dx,m,n \in {N^*}\). Chứng minh rằng:\({I_{m,n}} = {n \over {m + 1}}{I_{m + 1,n - 1}},m > 0,n > 1\) Từ đó tính I1,2 và I1,3.Hướng dẫn làm bàiDùng tích phân từng phần với...
Hãy chỉ ra kết quả nào dưới đây đúng:a) \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {\sin xdx + } \int\limits_{{\pi  \over 2}}^{{{3\pi } \over 2}} {\sin xdx + } \int\limits_{{{3\pi } \over 2}}^{2\pi } {\sin xdx = 0} \)b) \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {(\root...