Bài 21 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 21. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = {x \over {{x^2} + 1}};\)                    b) \(f\left( x \right) = {{{x^3}} \over {x + 1}};\)

c) \(f\left( x \right) = \sqrt {5 – {x^2}} ;\)              d) \(f\left( x \right) = x + \sqrt {{x^2} – 1} \).

Giải

a) TXĐ: \(D = {\mathbb{R}}\)

\(f’\left( x \right) = {{{x^2} + 1 – 2{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = {{1 – {x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}};f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1\,\,\,\,\,\,f\left( 1 \right) = {1 \over 2} \hfill \cr
x = – 1\,\,\,f\left( { – 1} \right) = – {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=-1\), giá trị cực tiểu \(f\left( { – 1} \right) =  – {1 \over 2}\). Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=1\), giá trị cực đại \(f\left( 1 \right) = {1 \over 2}\).

b) TXĐ: \(D = {\mathbb {R}}\backslash \left\{ { – 1} \right\}\)

\(\eqalign{
& f’\left( x \right) = {{3{x^2}\left( {x + 1} \right) – {x^3}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = {{2{x^3} + 3{x^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \cr
& f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {2x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = – {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr
& f\left( { – {3 \over 2}} \right) = {{27} \over 4} \cr} \)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x =  – {3 \over 2}\), giá trị cực tiểu \(f\left( { – {3 \over 2}} \right) = {{27} \over 4}\).

c) TXĐ: \(D = \left[ { – \sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right]\)

\(f’\left( x \right) = {{ – 2x} \over {2\sqrt {5 – {x^2}} }} = {{ – x} \over {\sqrt {5 – {x^2}} }};f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0;f\left( 0 \right) = \sqrt 5 \)

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), giá trị cực đại \(f\left( 0 \right) = \sqrt 5 \).

d) \(f\left( x \right)\) xác định khi và chỉ khi \({x^2} – 1 \ge 0\) \( \Leftrightarrow x \le  – 1\)hoặc \(x \ge 1\).

TXĐ: \(D = \left( { – \infty ; – 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)

\(f’\left( x \right) = 1 + {x \over {\sqrt {{x^2} – 1} }} = {{\sqrt {{x^2} – 1}  + x} \over {\sqrt {{x^2} – 1} }}\) 

\(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} – 1} = – x \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le 0 \hfill \cr
{x^2} – 1 = {x^2} \hfill \cr} \right.\) vô nghiệm

\(f’\left( { – 2} \right) < 0 \Rightarrow f’\left( x \right) < 0\) với mọi \(x <  – 1\)

\(f’\left( { – 2} \right) > 0 \Rightarrow f’\left( x \right) > 2\) với mọi \(x > 1\)

Hàm số nghịch biến trên \(\left( { – \infty ; – 1} \right]\) và đồng biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.