Bài 22 Trang 162 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 22. Chứng minh rằng: 

a) \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_0^1 {f\left( {1 – x} \right)dx.} \)               

b) \(\int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { – x} \right)} \right]} dx.\) 

Giải

a) Đặt \(u = 1 – x \Rightarrow du =  – dx\)

\(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_1^0 {f\left( {1 – u} \right)} \left( { – du} \right) = \int\limits_0^1 {f\left( {1 – u} \right)} du = \int\limits_0^1 {f\left( {1 – x} \right)} dx\)
b) \(\int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_{-1}^0 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx\) với \(\int\limits_{ – 1}^0 {f\left( x \right)} dx\)

Đặt \(u =  – x \Rightarrow du =  – dx\)

Khi đó \(\int\limits_{ – 1}^0 {f\left( x \right)dx = \int\limits_1^0 {f\left( { – u} \right)} } \left( { – du} \right) = \int\limits_0^1 {f\left( { – u} \right)} du = \int\limits_0^1 {f\left( { – x} \right)} dx\)

Do đó \(\int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { – x} \right)} \right]} dx\)