Bài 25 trang 199 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 25

a) Tìm các số thực b, c để phương trình (với ẩn z):

                \({z^2} + bz + c = 0\) 

nhận \(z = 1 + i\) làm một nghiệm.

b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z):

                      \({z^3} + a{z^2} + bz + c = 0\) 

nhận \(z = 1 + i\) làm nghiệm và cũng nhận \(z = 2\) là nghiệm.

Giải

a) \(1 + i\) là một nghiệm của phương trình \({z^2} + bz + c = 0\) khi và chỉ khi

\({\left( {1 + i} \right)^2} + b\left( {1 + i} \right) + c = 0 \Leftrightarrow 2i + b + bi + c = 0\)

\( \Leftrightarrow b + c + \left( {2 + b} \right)i = 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  b + c = 0 \hfill \cr  2 + b = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  b =  – 2 \hfill \cr  c = 2 \hfill \cr}  \right.\)

b) \(1 + i\) là một nghiệm của \({z^3} + a{z^2} + bz + c = 0\)  khi và chỉ khi

   \({\left( {1 + i} \right)^3} + a{\left( {1 + i} \right)^2} + b\left( {1 + i} \right) + c = 0 \Leftrightarrow \left( {b + c – 2} \right)+\left( {2 + 2a + b} \right)i = 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  b + c – 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr  2a + b + 2 = 0\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr}  \right.\)

\(2\) là nghiệm của \({z^3} + a{z^2} + bz + c = 0\) khi và chỉ khi \(8 + 4a + 2b + c = 0\,\,\,\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ:.\(\left\{ \matrix{  b + c = 2 \hfill \cr  2a + b =  – 2 \hfill \cr  4a + 2b + c =  – 8 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  a =  – 4 \hfill \cr  b = 6 \hfill \cr  c =  – 4 \hfill \cr}  \right.\)