Bài 28 Trang 167 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 28. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị các hàm số \(y = {x^2} – 4\), \(y =  – {x^2} – 2x\) và đường thẳng \(x =  – 3,x =  – 2;\)
b) Đồ thị hai hàm số \(y = {x^2}\) và \(y =  – {x^2} – 2x\)
c) Đồ thị hàm số \(y = {x^3} – 4x\), trục hoành, đường thẳng x=-2 và đường thẳng x=4

Giải

a) Ta có

\(S = \int\limits_{ – 3}^{ – 2} {\left| {{x^2} – 4 – \left( { – {x^2} – 2x} \right)} \right|} dx = \int\limits_{ – 3}^{ – 2} {\left( {2{x^2} + 2x – 4} \right)} dx\)

\( = 2\int\limits_{ – 3}^{ – 2} {\left( {{x^2} + x – 2} \right)} dx\) vì \(({x^2} + x – 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \le  – 2\) hoặc \(x \ge 1)\)

\( = 2\left. {\left( {{{{x^3}} \over 3} + {{{x^2}} \over 2} – 2x} \right)} \right|_{ – 3}^{ – 2} = {{11} \over 3}\)

b)Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

\({x^2} – 4 = – {x^2} – 2x \Leftrightarrow {x^2} + x – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = – 2 \hfill \cr
x = 1 \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(S = \int\limits_{ – 2}^1 {\left| {{x^2} – 4 – \left( { – {x^2} – 2x} \right)} \right|} dx = \int\limits_{ – 2}^1 {\left| {2{x^2} + 2x – 4} \right|} dx\)

\( =  – \int\limits_{ – 2}^1 {\left( {2{x^2} + 2x – 4} \right)} dx\) ( vì \( – 2 \le x \le 1 \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x – 4 \le 0\))

\( = \int\limits_{ – 2}^1 {\left( { – 2{x^2} – 2x + 4} \right)} dx = \left. {\left( { – {{2{x^3}} \over 3} – {x^2} + 4x} \right)} \right|_{ – 2}^1 = 9\)

c) \(S = \int\limits_{ – 2}^4 {\left| {{x^3} – 4x} \right|} dx = \int\limits_{ – 2}^0 {\left( {{x^3} – 4x} \right)} dx – \int\limits_0^2 {\left( {{x^3} – 4x} \right)} dx + \int\limits_2^4 {\left( {{x^3} – 4x} \right)} dx = 44\)