Bài 3.25 trang 152 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10


    Cho đường tròn (C): \({(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} = 9\) và điểm M(2;-1).a) Chứng tỏ rằng qua M ta vẽ được hai tiếp tuyến \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) với (C), hãy viết phương trình của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).b) Gọi \({M_1}\) và \({M_2}\) lần lượt là hai tiếp điểm...

    Cho đường tròn (C): \({(x + 1)^2} + {(y – 2)^2} = 9\) và điểm M(2;-1).

    a) Chứng tỏ rằng qua M ta vẽ được hai tiếp tuyến \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) với (C), hãy viết phương trình của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

    b) Gọi \({M_1}\) và \({M_2}\) lần lượt là hai tiếp điểm của  \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) với (C), hãy viết phương trình của đường thẳng d đi qua \({M_1}\) và \({M_2}\)

    Gợi ý làm bài

    a) (C) có tâm I(-1;2) và có bán kính R = 3. Đường thẳng  đi qua M(2;-1) và có hệ số góc k có phương trình: 

    \(y + 1 = k\left( {x – 2} \right) \Leftrightarrow kx – y – 2k – 1 = 0\)

    Ta có: \(\Delta \) tiếp xúc với (C)  \( \Leftrightarrow d(I;\Delta ) = R\)

    \( \Leftrightarrow {{\left| { – k – 2 – 2k – 1} \right|} \over {\sqrt {{k^2} + 1} }} = 3\)

    \(\Leftrightarrow \left| {k + 1} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \)

    \(\Leftrightarrow {k^2} + 2k + 1 = {k^2} + 1\)

    \( \Leftrightarrow k = 0.\)

    Vậy ta được tiếp tuyến \({\Delta _1}:y + 1 = 0.\)

    Xét đường thẳng \({\Delta _2}\) đo qua M(2;-1) và vuông góc với Ox, \({\Delta _2}\) có phương trình x – 2 = 0. Ta có:

    \(d\left( {I;{\Delta _2}} \right) = \left| { – 1 – 2} \right| = 3 = R\)

    Suy ra \({\Delta _2}\) tiếp xúc với (C). 

    Vậy qua điểm M ta vẽ được hai tiếp tuyến với  (C), đó là: 

    \({\Delta _1}:y + 1 = 0\) và \({\Delta _2}:x – 2 = 0\)

    b) \({\Delta _1}\) tiếp xúc với (C)  tại \({M_1}\left( { – 1; – 1} \right)\)

    \({\Delta _2}\) tiếp xúc với (C)  tại \({M_2}\left( {2;2} \right)\)

    Phương trình của đường thẳng d đi qua \({M_1}\) và \({M_2}\) là: x – y = 0.