Bài 3.27 trang 152 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10


    Cho hai đường tròn (C1): \({x^2} + {y^2} - 6x + 5 = 0\)và     (C2): \({x^2} + {y^2} - 12x - 6y + 44 = 0\)a) Tìm câm và bán kính của (C 1)  và (C 2) .b) Lập phương trình tiếp tuyến chung của (C 1)  và (C 2). Gợi ý làm...

    Cho hai đường tròn (C1): \({x^2} + {y^2} – 6x + 5 = 0\)

    và     (C2): \({x^2} + {y^2} – 12x – 6y + 44 = 0\)

    a) Tìm câm và bán kính của (C 1)  và (C 2) .

    b) Lập phương trình tiếp tuyến chung của (C 1)  và (C 2). 

    Gợi ý làm bài

    a) (C 1) có tâm có bán kính \({R_1} = 2\);

        (C 2) có tâm có bán kính \({R_2} = 1\).

    b) Xét đường thẳng \(\Delta \) có phương trình:

    \(y = kx + m\) hay \(kx – y + m = 0\). Ta có:

    \(\Delta\) tiếp xúc vơi (C 1)  và (C 2) khi và chỉ khi

    \(\left\{ \matrix{
    d({I_1},\Delta ) = {R_1} \hfill \cr
    d({I_2},\Delta ) = {R_2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    {{\left| {3k + m} \right|} \over {\sqrt {{k^2} + 1} }} = 2(1) \hfill \cr
    {{\left| {6k – 3 + m} \right|} \over {\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1.(2) \hfill \cr} \right.\)

    Từ (1) và (2) suy ra

    \(\left| {3k + m} \right| = 2\left| {6k – 3 + m} \right|\)

    Trường hợp 1: \(3k + m = 2(6k – 3 + m) \Leftrightarrow m = 6 – 9k\) (3)

    Thay vào (2) ta được

    \(\left| {6k – 3 + 6 – 9k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1}  \Leftrightarrow \left| {3 – 3k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \)

    \( \Leftrightarrow 9 – 18k + 9{k^2} = {k^2} + 1\)

    \( \Leftrightarrow 8{k^2} – 18k + 8 = 0\)

    \(\Leftrightarrow 4{k^2} – 9k + 4 = 0\)

    \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    {k_1} = {{9 + \sqrt {17} } \over 8} \hfill \cr
    {k_2} = {{9 – \sqrt {17} } \over 8} \hfill \cr} \right.\)

    Thay giá trị của k vào (3) ta tính được

    \(\left[ \matrix{
    {k_1} = 6 – 9{k_1} \hfill \cr
    {k_2} = 6 – 9{k_2} \hfill \cr} \right.\)

    Vậy ta được hai tiếp tuyến

    \({\Delta _1}:y = {k_1}x + 6 – 9{k_1};\)

    \({\Delta _2}:y = {k_2}x + 6 – 9{k_2}.\)

    Trường hợp 2

    \(\eqalign{
    & 3k + m = – 2(6k – 3 + m) \cr
    & \Leftrightarrow 3m = 6 – 15k \cr} \)

    \( \Leftrightarrow m = 2 – 5k\) (4)

    Thay vào (2) ta được

    \(\left| {6k – 3 + 2 – 5k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1}  \Leftrightarrow \left| {k – 1} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \)

    \( \Leftrightarrow {(k – 1)^2} = {k^2} + 1\)

    \(\Leftrightarrow {k^2} – 2k + 1 = {k^2} + 1\)

    \( \Leftrightarrow k = 0.\)

    Thay giá trị của k vào (4) ta được m = 2.

    Vậy ta được tiếp tuyến

    \({\Delta _3}:y = 2.\)

    Xét đường thẳng \({\Delta _4}\) vuông góc với Ox tại \({x_0}\):

    \({\Delta _4}:x – {x_0} = 0.\)

    \({\Delta _4}\) tiếp xúc vơi (C 1)  và (C 2) khi và chỉ khi

    \(\eqalign{
    & \left\{ \matrix{
    d({I_1},{\Delta _4}) = {R_1} \hfill \cr
    d({I_2},{\Delta _4}) = {R_2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    \left| {3 – {x_0}} \right| = 2 \hfill \cr
    \left| {6 – {x_0}} \right| = 1 \hfill \cr} \right. \cr
    & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    {x_0} = 1 \vee {x_0} = 5 \hfill \cr
    {x_0} = 5 \vee {x_0} = 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow {x_0} = 5. \cr} \)

    Vậy ta được tiếp tuyến: \({\Delta _4}:x – 5 = 0\)

    Tóm lại hai đường tròn (C 1)  và (C 2) có bốn tiếp tuyến chung \({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\), \({\Delta _3}\) và \({\Delta _4}\)