Bài 3.33 trang 129 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:

a)  \(d:{{x + 1} \over 1} = {{y – 1} \over 2} = {{z + 3} \over 3}\) và \(d’:{{x – 1} \over 3} = {{y – 5} \over 2} = {{z – 4} \over 2}\)

b)\(d:\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 1 + t} \cr {z = 2 – t} \cr} } \right.\)  và \(d’:\left\{ {\matrix{{x = 9 + 2t’} \cr {y = 8 + 2t’} \cr {z = 10 – 2t’} \cr} } \right.\)

c) \(d:\left\{ {\matrix{{x = – t} \cr {y = 3t} \cr {z = – 1 – 2t} \cr} } \right.\)  và \(d’:\left\{ {\matrix{{x = 0} \cr {y = 9} \cr {z = 5t’} \cr} } \right.\)

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có:  \(\overrightarrow {{a_d}}  = (1;2;3)\) và \(\overrightarrow {{a_{d’}}}  = (3;2;2)\)

Suy ra \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {{a_d}}  \wedge \overrightarrow {{a_{d’}}}  = ( – 2;7; – 4)\)

Ta có \({M_0}( – 1;1; – 2) \in d,{M_0}'(1;5;4) \in {\rm{d’ \Rightarrow  }}\overrightarrow {{M_0}{M_0}’}  = (2;4;6)\)

Ta có \(\overrightarrow n.\overrightarrow {{M_0}{M_0}’}  =  – 4 + 28 – 24 = 0\) . Vậy đường thẳng d và d’ đồng phẳng và khác phương, nên d và d’ cắt nhau.

b) Ta có \(\overrightarrow {{a_d}}  = (1;1; – 1)\)  và \(\overrightarrow {{a_{d’}}}  = (2;2; – 2).{M_0}(0;1;2) \in d\)

Vì \(\left\{ {\matrix{{\overrightarrow {{a_{d’}}} = 2\overrightarrow {{a_d}} } \cr {{M_0} \notin d’} \cr} } \right.\)  (tọa độ M₀ không thỏa mãn d’) nên hai đường thẳng d và d’ song song.

c) d có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{a_d}}  = ( – 1;3; – 2)\)

d’ có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{a_{d’}}}  = (0;0;5)\)

Gọi \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {{a_d}}  \wedge \overrightarrow {{a_{d’}}}  = (15;5;0) \ne \overrightarrow 0 \)

Ta có \({M_0}(0;0; – 1) \in d\)

\(M{‘_0}(0;9;0) \in d’ \Rightarrow \overrightarrow {{M_0}M{‘_0}}  = (0;9;1),\overrightarrow n.\overrightarrow {{M_0}M{‘_0}}  = 45 \ne 0\)

Vậy d và d’ là hai đường thẳng chéo nhau.