Bài 3.33 trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10


    Viết phương trình chính tắc của elip (E) \({F_1}\) và \({F_2}\) biết:a) (E) đi qua hai điểm \(M\left( {4;{9 \over 5}} \right)\) và \(N\left( {3;{{12} \over 5}} \right)\);b) (E) đi qua \(M\left( {{3 \over {\sqrt 5 }};{4 \over {\sqrt 5 }}} \right)\) và tam giác \(M{F_1}{F_2}\) vuông tại M. Gợi ý làm bàia) Xét elip (E): \({{{x^2}} \over...

    Viết phương trình chính tắc của elip (E) \({F_1}\) và \({F_2}\) biết:

    a) (E) đi qua hai điểm \(M\left( {4;{9 \over 5}} \right)\) và \(N\left( {3;{{12} \over 5}} \right)\);

    b) (E) đi qua \(M\left( {{3 \over {\sqrt 5 }};{4 \over {\sqrt 5 }}} \right)\) và tam giác \(M{F_1}{F_2}\) vuông tại M. 

    Gợi ý làm bài

    a) Xét elip (E): \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)

    (E) đi qua \(M\left( {4;{9 \over 5}} \right)\) và \(N\left( {3;{{12} \over 5}} \right)\) nên thay tọa độ của MN vào phương trình của (E) ta được:

    \(\left\{ \matrix{
    {{16} \over {{a^2}}} + {{81} \over {25{b^2}}} = 1 \hfill \cr
    {9 \over {{a^2}}} + {{144} \over {25{b^2}}} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    {a^2} = 25 \hfill \cr
    {b^2} = 9. \hfill \cr} \right.\)

    Vậy phương trình của (E) là: \({{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\)

    b) xét elip (E): \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)

    Vì \(M\left( {{3 \over {\sqrt 5 }};{4 \over {\sqrt 5 }}} \right) \in (E)\) nên \({9 \over {5{a^2}}} + {{16} \over {5{b^2}}} = 1\,\,\,\,\,(1)\)

    Ta có: \(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^ \circ } \Rightarrow OM = O{F_1}\)

    \( \Rightarrow {c^2} = O{M^2} = {9 \over 5} + {{16} \over 5} = 5\)

    và: \({a^2} = {b^2} + {c^2} = {b^2} + 5\)

    Thay vào (1) ta được: 

    \(\eqalign{
    & {9 \over {5\left( {{b^2} + 5} \right)}} + {{16} \over {5{b^2}}} = 1 \cr
    & \Leftrightarrow 9{b^2} + 16\left( {{b^2} + 5} \right) = 5{b^2}({b^2} + 5) \cr} \)

    \( \Leftrightarrow {b^4} = 14\)

    \( \Leftrightarrow {b^2} = 4\)

    Suy ra \({a^2} = 9\)

    Vậy phương trình chính tắc của (E) là 

    \({{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 4} = 1\)