Bài 3.38 trang 130 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta ‘\) trong các trường hợp sau:

a)\(\Delta:\left\{ {\matrix{{x = 1 + t} \cr {y = – 1 – t} \cr {z = 1} \cr} } \right.\)  và  \(\Delta ‘:\left\{ {\matrix{{x = 2 – 3t’} \cr {y = 2 + 3t’} \cr {z = 3t’} \cr} } \right.\)

b)\(\Delta:\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 4 – t} \cr {z = – 1 + 2t} \cr} } \right.\)  và    \(\Delta ‘:\left\{ {\matrix{{x = t’} \cr {y = 2 – 3t’} \cr {z = – 3t’} \cr} } \right.\)

Hướng dẫn làm bài:

a) Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa \(\Delta \) và song song với \(\Delta ‘\). Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \((\alpha )\) là:   \(\overrightarrow a  = (1; – 1;0)\) và \(\overrightarrow a ‘ = ( – 1;1;1)\). Suy ra \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = ( – 1; – 1;0)\)

\((\alpha )\) đi qua điểm M₁(1; -1; 1) thuộc \(\Delta \) và có vecto pháp tuyến: \(\overrightarrow {{n_{\alpha ‘}}}  = (1;1;0)\)

Vậy phưong trình của mặt phẳng \((\alpha )\) có dạng  x – 1 + y + 1=   hay x + y = 0

Ta có:  M₂((2; 2; 0) thuộc đường thẳng \(\Delta ‘\)

      \(d(\Delta,\Delta ‘) = d({M_2},(\alpha )) = {{|2 + 2|} \over {\sqrt {1 + 1} }} = 2\sqrt 2 \)  

b) Hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta ‘\) có phương trình là:

\(\Delta:\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 4 – t} \cr {z = – 1 + 2t} \cr} } \right.\)     và \(\Delta ‘:\left\{ {\matrix{{x = t’} \cr {y = 2 – 3t’} \cr {z = – 3t’} \cr} } \right.\)

Phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) chứa \(\Delta \) và song song với \(\Delta ‘\) là 9x + 5y – 2z – 22 = 0

Lấy điểm M’(0; 2; 0) trên \(\Delta ‘\) .

Ta có \(d(\Delta,\Delta ‘) = d(M’,(\alpha )) = {{|5.(2) – 22|} \over {\sqrt {81 + 25 + 4} }} = {{12} \over {\sqrt {110} }}\)

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và  \(\Delta ‘\)  là \({{12} \over {\sqrt {110} }}\).