Bài 3.43 trang 131 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Bằng phương pháp tọa độ hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CA’ và  DD’.

Hướng dẫn làm bài:

Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho: C là gốc tọa độ,\(\overrightarrow {CD}  = a\overrightarrow i ;\overrightarrow {CB}  = a\overrightarrow j ;\overrightarrow {CC’}  = a\overrightarrow k \)

Trong hệ tọa độ vừa chọn ta có: C(0; 0; 0), A’(a; a ; a), D(a,; 0;0), D’(a; 0; a)

\(\overrightarrow {CA’}  = (a;a;a),\overrightarrow {{\rm{DD}}’}  = (0;0;a)\)

Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa \(\overrightarrow {CA’} \) và song song với \(\overrightarrow {DD’} \) . Mặt phẳng \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {CA’}  \wedge \overrightarrow {{\rm{DD}}’}  = ({a^2}; – {a^2};0)\)    hay x – y = 0

Phương trình tổng quát của \((\alpha )\) là x – y = 0.

Ta có: \(d(CA’,{\rm{DD}}’) = d(D,(\alpha )) = {{| – a|} \over {\sqrt {1 + 1 + 0} }} = {a \over {\sqrt 2 }}\)

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng  CA’ và DD’ là  \({{a\sqrt 2 } \over 2}\)