Bài 3.44 trang 131 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x + y  +z – 1 = 0  và đường thẳng d: \({{x – 1} \over 2} = {y \over 1} = {{z + 2} \over { – 3}}\)

Gọi M là giao điểm của d và \((\alpha )\) , hãy viết phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua M vuông góc với d và nằm trong \((\alpha )\)

Hướng dẫn làm bài

Phương trình tham số của đường thẳng d: \(\left\{ {\matrix{{x = 1 + 2t} \cr {y = t} \cr {z = – 2 – 3t} \cr} } \right.\)

Xét phương trình:

\(2(1 + 2t) + (t) + ( – 2 – 3t) – 1 = 0  \Leftrightarrow 2t – 1 = 0 \Leftrightarrow  t = {1 \over 2}\)

Vậy đưởng thẳng d cắt mặt phẳng \((\alpha )\) tại điểm \(M(2;{1 \over 2}; – {7 \over 2})\).

Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) và vecto chỉ phương của đường thẳng d lần lượt là \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = (2;1;1)\)   và \(\overrightarrow {{a_d}}  = (2;1; – 3)\).

Gọi \(\overrightarrow {{a_\Delta }} \)   là vecto pháp tuyến của \(\Delta \), ta có \(\overrightarrow {{a_\Delta }}  \bot \overrightarrow {{n_\alpha }} \)  và \(\overrightarrow {{a_\Delta }}  \bot \overrightarrow {{a_d}} \).

Suy ra \(\overrightarrow {{a_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_\alpha }}  \wedge \overrightarrow {{n_d}}  = ( – 4;8;0)\)  hay \(\overrightarrow {{a_\Delta }}  = (1; – 2;0)\)

Vậy phương trình tham số của \(\Delta \) là  \(\left\{ {\matrix{{x = 2 + t} \cr {y = {1 \over 2} – 2t} \cr {z = – {7 \over 2}} \cr} } \right.\)