Bài 3.54 trang 132 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hai đường thẳng d:  \(\left\{ {\matrix{{x = 6} \cr {y = – 2t} \cr {z = 7 + t} \cr} } \right.\) và  d₁: \(\left\{ {\matrix{{x = – 2 + t’} \cr {y = – 2} \cr {z = – 11 – t’} \cr} } \right.\)

Lập phương trình mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ d và d₁ đến (P) là bằng nhau.

Hướng dẫn làm bài:

Đường thẳng d đi qua M(6; 0 ;7) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a (0; – 2;1)\). Đường thẳng d₁ đi qua N(-2; -2; -11) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow b (1;0; – 1)\).

Do d và d₁ chéo nhau nên (P) là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn vuông góc  chung AB của d, d₁ và song song với d và d₁.

Để tìm tọa độ của A, B ta làm như sau:

Lấy điểm A(6; – 2t; 7 + t) thuộc d, B( -2 + t’; -2 ; -11 – t’) thuộc d₁. Khi đó: \(\overrightarrow {AB}  = ( – 8 + t’; – 2 + 2t; – 18 – t – t’)\)

Ta có: \(\left\{ {\matrix{{\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow a } \cr {\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow b } \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\overrightarrow {AB}.\overrightarrow a = 0} \cr {\overrightarrow {AB}.\overrightarrow b = 0} \cr} } \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{ – 2( – 2 + 2t) + ( – 18 – t – t’) = 0} \cr { – 8 + t’ – ( – 18 – t – t’) = 0} \cr} } \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{ – 5t – t’ – 14 = 0} \cr {t + 2t’ + 10 = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow  \left\{ {\matrix{{t = – 2} \cr {t’ = – 4} \cr} } \right.\)

Suy ra  A(6; 4; 5), B(-6; -2; -7)

Trung điểm của AB là I(0; 1; -1)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = ( – 12; – 6; – 12)\) . Chọn \(\overrightarrow {{n_P}}  = (2;1;2)\)

Phương trình của (P) là: 2x + (y – 1) + 2(z + 1) = 0  hay 2x + y  +2z + 1 = 0.

Có thể tìm tọa độ của A, B bằng cách khác:

Ta có: Vecto chỉ phương của đường vuông góc chung của d và d₁là:

\(\eqalign{& \overrightarrow a \wedge \overrightarrow b = \left( {\left| {\matrix{{\matrix{{ – 2} \cr 0 \cr} } & {\matrix{1 \cr { – 1} \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{1 \cr { – 1} \cr} } & {\matrix{0 \cr 1 \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{0 \cr 1 \cr} } & {\matrix{{ – 2} \cr 0 \cr} } \cr} } \right|} \right) \cr & = \left( {2;1;2} \right) \cr} \)

Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và đường vuông góc chung AB.

Khi đó:

\(\eqalign{& \overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow a \wedge \left( {\overrightarrow a \wedge \overrightarrow b } \right) \cr & = \left( {\left| {\matrix{{\matrix{{ – 2} \cr 1 \cr} } & {\matrix{1 \cr 2 \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{1 \cr 2 \cr} } & {\matrix{0 \cr 2 \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{0 \cr 2 \cr} } & {\matrix{{ – 2} \cr 1 \cr} } \cr} } \right|} \right) = ( – 5;2;4) \cr} \)

Phương trình của (Q) là: \(–5(x – 6) + 2y + 4(z – 7) = 0\) hay \(–5x + 2y + 4z + 2 = 0\)

Để tìm \({d_1} \cap (Q)\)   ta thế phương trình của d1 vào phương trình của (Q). Ta có:

\(–5(–2 + t’) + 2(–2)  +4(–11 – t’ ) + 2 = 0\)

\(\Rightarrow  t’ = 4\)

\(\Rightarrow {d_1} \cap (Q) = B( – 6; – 2; – 7)\)

Tương tự, gọi (R) là mặt phẳng chứa d1 và đường vuông góc chung AB. Khi đó: \(\overrightarrow {{n_R}}  = ( – 1;4; – 1)\)

Phương trình của (R) là \( –x  + 4y – z – 5 = 0.\)

Suy ra  \(d \cap (R) = A(6;4;5)\)