Bài 3.62 trang 133 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hình lập phương ABCD.A₁B₁C₁D₁ có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BB₁, CD. A₁D₁. Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng MP và C₁N.

Hướng dẫn làm bài:

Ta chọn hệ trục tọa độ như sau:  B₁ là gốc tọa độ, \(\overrightarrow {{B_1}{A_1}}  = \overrightarrow i,\overrightarrow {{B_1}{C_1}}  = \overrightarrow j,\overrightarrow {{B_1}B}  = \overrightarrow k \). Trong hệ trục vừa chọn, ta có B₁(0; 0; 0), B(0; 0; 1), A₁(1; 0; 0), D₁(1; 1; 0), C(0; 1; 1), D(1; 1; 1), C₁(0; 1; 0).

Suy ra \(M(0;0;{1 \over 2}),P(1;{1 \over 2};0),N({1 \over 2};1;1)\)

Ta có \(\overrightarrow {MP}  = (1;{1 \over 2}; – {1 \over 2});\overrightarrow {{C_1}N}  = ({1 \over 2};0;1)\)

Gọi \((\alpha )\)  là mặt phẳng chứa C₁N và song song với MP. \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = ({1 \over 2}; – {5 \over 4}; – {1 \over 4})\)   hay \(\overrightarrow n ‘ = (2; – 5; – 1)\)

Phương trình  của \((\alpha )\) là \( 2x – 5(y – 1) – z = 0\) hay \(2x – 5y – z + 5 = 0\)

Ta có  \(d(MP,{C_1}N) = d(M,(\alpha )) = {{| – {1 \over 2} + 5|} \over {\sqrt {25 + 4 + 1} }} = {9 \over {2\sqrt {30} }}\)

Ta có: \(\cos (\widehat {MP,{C_1}N}) = {{|\overrightarrow {MP}.\overrightarrow {{C_1}N} |} \over {|\overrightarrow {MP} |.|\overrightarrow {{C_1}N} |}} = 0\) .  Vậy \((\widehat {MP,{C_1}N}) = {90^0}\).