Bài 3.68 trang 134 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm  A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0 ; -1), D(4; 1; 0). Gọi (S) là mặt cầu  đi qua bốn điểm A, B, C, D. Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A.

Hướng dẫn làm bài:

Tâm I(x, y, z) của (S) có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình

 \(\left\{ {\matrix{{I{A^2} = I{B^2}} \cr {I{A^2} = I{C^2}} \cr {I{A^2} = I{D^2}} \cr} } \right. \)

\(\Leftrightarrow  \left\{ {\matrix{{{{(x – 6)}^2} + {{(y + 2)}^2} + {{(z – 3)}^2} = {x^2} + {{(y – 1)}^2} + {{(z – 6)}^2}} \cr {{{(x – 6)}^2} + {{(y + 2)}^2} + {{(z – 3)}^2} = {{(x – 2)}^2} + {y^2} + {{(z + 1)}^2}} \cr {{{(x – 6)}^2} + {{(y + 2)}^2} + {{(z – 3)}^2} = {{(x – 4)}^2} + {{(y – 1)}^2} + {z^2}} \cr} } \right.\)

\( \Leftrightarrow  \left\{ {\matrix{{12x – 6y – 6z = 12} \cr {8x – 4y + 8z = 44} \cr {4x – 6y + 6z = 32} \cr} } \right.\)

\(\Leftrightarrow  \left\{ {\matrix{{2x – y – z = 2} \cr {2x – y + 2z = 11} \cr {2x – 3y + 3z = 16} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 2} \cr {y = – 1} \cr {z = 3} \cr} } \right.\)

Vậy mặt cầu (S) có tâm I(2; -1; 3).

Mặt phẳng \((\alpha )\) tiếp xúc với (S) tại A nên  \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {IA}  = (4; – 1;0)\)

Phương trình mặt phẳng  \((\alpha )\) là

\(4(x – 6) – (y  +2) = 0\)  hay  \(4x – y – 26 = 0.\)