Bài 3.7 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB}  = 2\overrightarrow {MN} \)                         

b) \(\overrightarrow {AB}  – \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC}  – \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {PQ} \)

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có  MPNQ là hình bình hành vì \(\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {QN}  = {1 \over 2}\overrightarrow {CD} \)  và \(\overrightarrow {MQ}  = \overrightarrow {PN}  = {1 \over 2}\overrightarrow {AB} \).

Do đó  \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MQ}  + \overrightarrow {MP}  = {{\overrightarrow {AB} } \over 2} + {{\overrightarrow {CD} } \over 2}\)  hay \(2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD} \)        (1)

Mặt khác  \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DB} \)

            \(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BD} \)     

Nên \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB} \)            (2)

Vì  \(\overrightarrow {DB}  =  – \overrightarrow {BD} \)

Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB}  = 2\overrightarrow {MN} \)  là đẳng thức cần chứng minh.

b) Ta có: \(\overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow {MQ}  – \overrightarrow {MP}  = {{\overrightarrow {AB} } \over 2} – {{\overrightarrow {CD} } \over 2}\)

Do đó: \(2\overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow {AB}  – \overrightarrow {CD} \)         (3)

Mặt khác:  \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB} \)

                \(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BD}  – \overrightarrow {BC} \)  

Nên \(\overrightarrow {AB}  – \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC}  – \overrightarrow {BD} \)             (4)

Vì \(\overrightarrow {CB}  – ( – \overrightarrow {BC} ) = \overrightarrow 0 \)

Từ (3) và (4) ta suy ra \(\overrightarrow {AB}  – \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC}  – \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {PQ} \)  là đẳng thức cần chứng minh.