Bài 3.8 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Trong không gian cho ba vecto tùy ý \(\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c \) . Gọi \(\overrightarrow u  = \overrightarrow a  – 2\overrightarrow b,\overrightarrow v  = 3\overrightarrow b  – \overrightarrow c,\overrightarrow {\rm{w}}  = 2\overrightarrow c  – 3\overrightarrow a \) .

Chứng tỏ rằng ba vecto \(\overrightarrow u,\overrightarrow v,\overrightarrow {\rm{w}} \)  đồng phẳng.

Hướng dẫn làm bài:

Muốn chứng tỏ rằng ba vecto  \(\overrightarrow u,\overrightarrow v,\overrightarrow {\rm{w}} \)  đồng phẳng ta cần tìm hai số thực p và q sao cho \(\overrightarrow {\rm{w}}  = p\overrightarrow u  + q\overrightarrow v \).

Giả sử có \(\overrightarrow {\rm{w}}  = p\overrightarrow u  + q\overrightarrow v \)

\(2\overrightarrow c  – 3\overrightarrow a  = p(\overrightarrow a  – 2\overrightarrow b ) + q(3\overrightarrow b  – \overrightarrow c )\)

\(\Leftrightarrow  (3 + p)\overrightarrow a  + (3q – 2p)\overrightarrow b  – (q + 2)\overrightarrow c  = \overrightarrow 0 \)     (1)

Vì ba vecto lấy tùy ý \(\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c \) nên đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{ {\matrix{{3 + p = 0} \cr {3q – 2p = 0} \cr {q + 2 = 0} \cr} } \right. \Rightarrow  \left\{ {\matrix{{p = – 3} \cr {q = – 2} \cr} } \right.\)

Như vậy ta có:  \(\overrightarrow {\rm{w}}  =  – 3\overrightarrow u  – 2\overrightarrow v \)  nên ba vecto  \(\overrightarrow u,\overrightarrow v,\overrightarrow {\rm{w}} \) đồng phẳng.