Bài 3.9 trang 103 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Trong không gian Oxyz cho một vecto \(\overrightarrow a \) tùy ý khác vecto \(\overrightarrow 0 \). Gọi \(\alpha,\beta,\gamma \) là ba góc tạo bởi ba vecto đơn vị \(\overrightarrow i,\overrightarrow j,\overrightarrow k \) trên ba trục Ox, Oy, Oz và vecto \(\overrightarrow a \) . Chứng minh rằng: \({\cos ^2}\alpha  + {\cos ^2}\beta  + {\cos ^2}\gamma  = 1\)

Hướng dẫn làm bài:

Gọi \(\overrightarrow {{a_0}} \) là vecto đơn vị cùng hướng  với vecto \(\overrightarrow a \) , ta có \(\overrightarrow {{a_0}}  = {1 \over {|\overrightarrow a |}}\overrightarrow a \).

Gọi \(\overrightarrow {O{A_0}}  = \overrightarrow {{a_0}} \) và các điểm A₁, A₂, A₃ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm A₀ trên các trục Ox, Oy, Oz.

Khi đó ta có:   \({{|\overrightarrow {O{A_1}} |} \over {|\overrightarrow {O{A_0}} |}} = \cos \alpha,{{|\overrightarrow {O{A_2}} |} \over {|\overrightarrow {O{A_0}|} }} = \cos \beta,{{|\overrightarrow {O{A_3}} |} \over {|\overrightarrow {O{A_0}} |}} = \cos \gamma \)

Vì  \(|\overrightarrow {O{A_0}} | = 1\) nên \(|\overrightarrow {O{A_1}} | = \cos \alpha,|\overrightarrow {O{A_2}} | = \cos \beta,|\overrightarrow {O{A_3}} | = \cos \gamma \)

Ta có   \(\overrightarrow {O{A_0}}  = \overrightarrow {O{A_1}}  + \overrightarrow {O{B_2}}  + \overrightarrow {O{A_3}} \) , ta suy ra: \(\overrightarrow {O{A_0}}  = \cos \alpha \overrightarrow i  + \cos \beta \overrightarrow j  + \cos \gamma \overrightarrow k \)  hay \(\overrightarrow {O{A_0}}  = (\cos \alpha ;\cos \beta ;\cos \gamma )\) .

Vì   \(\overrightarrow {O{A_0}}  = \overrightarrow {{a_0}} \) mà \(|\overrightarrow {{a_0}} | = 1\) nên ta có: \({\cos ^2}\alpha  + {\cos ^2}\beta  + {\cos ^2}\gamma  = 1\)