Bài 3. Đạo hàm của các hàm số lượng giác


Tìm đạo hàm của hàm số sau:\(y = \sqrt {{{\tan }^3}x}.\)Giải:    \(y' = {{3{{\tan }^2}x} \over {2{{\cos }^2}x\sqrt {{{\tan }^3}x} }}.\)
Tìm đạo hàm của hàm số sau:\(y = {2 \over {\cos \left( {{\pi  \over 6} - 5x} \right)}}.\)Giải:\(y' =  - {{10\sin \left( {{\pi  \over 6} - 5x} \right)} \over {{{\cos }^2}\left( {{\pi  \over 6} - 5x} \right)}}.\)
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:\(y = {{\sin {x^2}} \over x}.\)Giải:\(y' = {{2{x^2}\cos {x^2} - \sin {x^2}} \over {{x^2}}}.\)
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:\(y = \cos {x \over {x + 1}}.\)Giải:\(y' =  - {{\sin {x \over {x + 1}}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.\)
Tìm đạo hàm của hàm số sau:\(y = {\tan ^2}x - \cot {x^2}.\)Giải:\(y' = {{2\sin x} \over {{{\cos }^3}x}} + {{2x} \over {{{\sin }^2}{x^2}}}.\)           
Tìm đạo hàm của hàm số sau:\(f\left( t \right) = {{\cos t} \over {1 - \sin t}}\) tại \(t = {\pi  \over 6}.\)Giải:\(f'\left( t \right) = {{ - \sin t\left( {1 - \sin t} \right) + {{\cos }^2}t} \over {{{\left( {1...
Tìm đạo hàm của hàm số sau:\(y = \sqrt x  + {1 \over {\sqrt x }} + 0,1{x^{10}}.\)Giải:\(y' = {1 \over {2\sqrt x }} - {1 \over {2x\sqrt x }} + {x^9}.\)
Tìm đạo hàm của hàm số sau:\(y = {{2{x^2} + x + 1} \over {{x^2} - x + 1}}.\)Giải:\(y' = {{ - 3{x^2} + 2x + 2} \over {{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^2}}}.\)    
Tìm đạo hàm của hàm số sau:\(g\left( \varphi  \right) = {{\cos \varphi  + \sin \varphi } \over {1 - \cos \varphi }}.\)Giải:\(g'\left( \varphi  \right) = {{\cos \varphi  - \sin \varphi  - 1} \over {{{\left( {1 - \cos \varphi } \right)}^2}}}.\)...
Tìm đạo hàm của hàm số sau:\(y = {\left( {1 + 3x + 5{x^2}} \right)^4}.\)Giải:\(y' = 4{\left( {1 + 3x + 5{x^2}} \right)^3}\left( {3 + 10x} \right).\)           
Tìm đạo hàm của hàm số sau:\(y = {\left( {3 - \sin x} \right)^3}.\)            Giải:\(y' =  - 3{\left( {3 - \sin x} \right)^2}\cos x.\)        
Tìm đạo hàm của hàm số sau:\(y = {\sin ^2}3x + {1 \over {{{\cos }^2}x}}.\)            Giải:\(y' = 3\sin 6x + {{2\sin x} \over {{{\cos }^3}x}}.\)           
Tìm đạo hàm của hàm số sau:\(y = \sqrt {1 + 2\tan x}.\)          Giải:\(y' = {1 \over {\sqrt {1 + 2\tan x}.{{\cos }^2}x}}.\)           
Tìm đạo hàm của hàm số sau:\(y = \cot \sqrt {1 + {x^2}}.\)            Giải:\(y' = {{ - x} \over {\sqrt {1 + {x^2}} {{\sin }^2}\sqrt {1 + {x^2}} }}.\)           
Tìm đạo hàm của hàm số sau:\(y = \sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } }.\)            Giải:\(y' = {1 \over {2\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } }}\left[ {1 + {1...
Cho \(f\left( x \right) = 5{x^2} - 16\sqrt x  + 7.\) Tính \(f'\left( 1 \right);f'\left( 4 \right);f'\left( {{1 \over 4}} \right).\)Giải:\(f'\left( 1 \right) = 2{\rm{ }};{\rm{ }}f'\left( 4 \right) = 36{\rm{ }};{\rm{ }}f'\left( {{1 \over 4}} \right) =  - {{27} \over...
Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0,\) biết rằnga) \(f\left( x \right) = 3x + {{60} \over x} - {{64} \over {{x^3}}} + 5\) ;b) \(f\left( x \right) = {{\sin 3x} \over 3} + \cos x - \sqrt 3 \left( {\sin...
Giải các phương trìnha) \(f'\left( x \right) = 0\) với \(f\left( x \right) = 1 - \sin \left( {\pi  + x} \right) + 2\cos {{3\pi  + x} \over 2}\) ;.b) \(g'\left( x \right) = 0\) với \(g\left( x \right) =...
Giải phương trình \(f'\left( x \right) = g\left( x \right)\)a)     Với \(f\left( x \right) = 1 - {\sin ^4}3x\) và \(g\left( x \right) = \sin 6x\) ;b)     Với \(f\left( x \right) = 4x{\cos ^2}\left( {{x \over 2}} \right)\) và \(g\left( x \right) =...
Chứng minh rằng \(f'\left( x \right) = 0\forall x \in R,\) nếu  :a) \(f\left( x \right) = 3\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 2\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)\) ;b) \(f\left( x \right) = {\cos ^6}x + 2{\sin ^4}x{\cos...
Tìm \(f'\left( 1 \right),f'\left( 2 \right),f'\left( 3 \right)\) nếu \(f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}{\left( {x - 3} \right)^3}.\) Giải:f'(1) = -8f'(2) = 0f'(3) = 0
Tìm \(f'\left( 2 \right)\) nếu\(f\left( x \right) = {x^2}\sin \left( {x - 2} \right).\)Giải:Đáp số \(f'\left( 2 \right) = 4.\)
Cho \(y = {{{x^3}} \over 3} + {{{x^2}} \over 2} - 2x.\)Với những giá trị nào của x thì:a) \(y'\left( x \right) = 0;\)b) \(y'\left( x \right) =  - 2;\)c) \(y'\left( x \right) = 10\)Giải:\(y' = {x^2} + x -...
Tìm đạo hàm của hàm số sau:\(y = {a^5} + 5{a^3}{x^2} - {x^5}.\)Giải:\(y' = 10{a^3}x - 5{x^4}.\)       
Tìm đạo hàm của hàm số sau:\(y = \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right).\)Giải:\(y' = 2x - \left( {a + b} \right).\)       
Tìm đạo hàm của hàm số:\(y = {{ax + b} \over {a + b}}.\)    Giải:\(y' = {a \over {a + b}}.\)  
Tìm đạo hàm của hàm số sau:\(y = \left( {x + 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x + 3} \right)^3}.\)Giải:\(y' = 2\left( {x + 2} \right){\left( {x + 3} \right)^2}\left( {3{x^2} + 11x + 9} \right).\)
Tìm đạo hàm của hàm số sau:\(y = \left( {x\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)\left( {x\cos \alpha  - \sin \alpha } \right).\)Giải:\(y' = x\sin 2\alpha  + \cos 2\alpha.\)
Tìm đạo hàm của hàm số sau:\(y = \left( {1 + n{x^m}} \right)\left( {1 + m{x^n}} \right).\)Giải:\(y' = mn\left[ {{x^{n - 1}} + {x^{m - 1}} + \left( {m + n} \right){x^{m + n - 1}}} \right].\)
Tìm đạo hàm của hàm số sau:\(y = \left( {1 - x} \right){\left( {1 - {x^2}} \right)^2}{\left( {1 - {x^3}} \right)^3}.\)                       Giải:\(y' =  - {\left( {1 - x} \right)^2}\left( {1...
Tìm đạo hàm của hàm số sau:\(y = {{1 + x - {x^2}} \over {1 - x + {x^2}}}.\)Giải:\(y' = {{2\left( {1 - 2x} \right)} \over {{{\left( {1 - x + {x^2}} \right)}^2}}}.\)
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:\(y = {x \over {{{\left( {1 - x} \right)}^2}{{\left( {1 + x} \right)}^3}}}.\)Giải:\(y' = {{1 - x + 4{x^2}} \over {{{\left( {1 - x} \right)}^3}{{\left( {1 + x} \right)}^4}}}{\rm{      }}\left( {\left|...
Tìm đạo hàm của hàm số sau:\(y = {{\left( {2 - {x^2}} \right)\left( {3 - {x^3}} \right)} \over {{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}.\)Giải:\(y' = {{12 - 6x - 6{x^2} + 2{x^3} + 5{x^4} - 3{x^5}} \over {{{\left( {1 - x}...
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:\(y = x\sqrt {1 + {x^2}}.\)Giải:\(y' = {{1 + 2{x^2}} \over {\sqrt {1 + {x^2}} }}.\)            
Tìm đạo hàm của hàm số sau:\(y = {x \over {\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}.\)          Giải:\(y' = {{{a^2}} \over {\left( {{a^2} - {x^2}} \right)\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}{\rm{          }}\left( {\left| x \right| <...
Tìm đạo hàm của hàm số sau:\(y = \left( {2 - {x^2}} \right)\cos x + 2x\sin x.\)Giải:\(y' = {x^2}\sin x.\)
Tìm đạo hàm của hàm số sau:\(y = \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right).\)Giải:\(y' =  - \sin 2x.\cos \left( {\cos 2x} \right).\)         
Tìm đạo hàm của hàm số sau:\(y = {{\sin x - x\cos x} \over {\cos x + x\sin x}}.\)         Giải:\(y' = {{{x^2}} \over {{{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^2}}}.\)
Tìm đạo hàm của hàm số sau:\(y = \tan {x \over 2} - \cot {x \over 2}.\)Giải:\(y' = {2 \over {{{\sin }^2}x}}\left( {x \ne k\pi,k \in Z} \right).\)
Tìm đạo hàm của hàm số sau:\(y = \tan x - {1 \over 3}{\tan ^3}x + {1 \over 5}{\tan ^5}x.\)Giải:\(y' = 1 + {\tan ^6}x\left( {x \ne \left( {2k + 1} \right){\pi  \over 2},k \in Z} \right).\)