Bài 35 trang 35 SGK giải tích 12 nâng cao

Bài 35. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
\(a)\,y = {{2x – 1} \over {{x^2}}} + x – 3\,;\)             \(b)\,\,{{{x^3} + 2} \over {{x^2} – 2x}}\)

\(c)\,\,{{{x^3} + x + 1} \over {{x^2} – 1\,}}\,\,;\)                             \(d)\,\,{{{x^2} + x + 1} \over { – 5{x^2} – 2x + 3}}\)

Giải

a) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 0 \right\}\)
* Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} y =  – \infty \) nên x = 0 là tiệm cận đứng.
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y – \left( {x – 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {{2x – 1} \over {{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( {{2 \over x} – {1 \over {{x^2}}}} \right) = 0\) nên y = x – 3 là tiệm cận xiên.
b) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ {0;2} \right\}\)
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{{x^3} + 2} \over {x\left( {x – 2} \right)}} =  – \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{{x^3} + 2} \over {x\left( {x – 2} \right)}} =  + \infty \) nên x = 0 là tiệm cận đứng.
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{{x^3} + 2} \over {x\left( {x – 2} \right)}} =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} {{{x^3} + 2} \over {x\left( {x – 2} \right)}} =  – \infty \) nên \(x = 2\) là tiệm cận đứng.
* Tiệm cận xiên có dạng \(y = ax +b\)

\(\eqalign{
& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{x^3} + 2} \over {{x^3} – 2{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{1 + {2 \over {{x^3}}}} \over {1 – {2 \over x}}} = 1 \cr
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {y – x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {{{{x^3} + 2} \over {{x^2} – 2x}} – x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{2{x^2} + 2} \over {{x^2} – 2x}} = 2 \cr} \)

Đường thẳng \(y = x + 2\) là tiệm cận xiên của đồ thị.
c) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { – 1;1} \right\}\)
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} {{{x^3} + x + 1} \over {\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ – }} {{{x^3} + x + 1} \over {\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} =  – \infty \) nên \(x = -1\) là tiệm cận đứng.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{{x^3} + x + 1} \over {\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} =  – \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y =  – \infty \) nên \(x = 1\) là tiệm cận đứng.
* Tiệm cận xiên có dạng \(y = ax + b\)

\(\eqalign{
& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{x^3} + x + 1} \over {x\left( {{x^2} – 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{1 + {1 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^3}}}} \over {1 – {1 \over {{x^2}}}}} = 1 \cr
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {y – x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {{{{x^3} + x + 1} \over {{x^2} – 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{2x + 1} \over {{x^2} – 1}} = 0 \cr} \)

\( \Rightarrow y = x\) là tiệm cận xiên.
d) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { – 1;{3 \over 5}} \right\}\)
* Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {{1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} \over { – 5 – {2 \over x} + {3 \over {{x^2}}}}} =  – {1 \over 5}\) nên \(y =  – {1 \over 5}\) là tiệm cận ngang.
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} {{{x^2} + x + 1} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {3 – 5x} \right)}} =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ – }} y =  – \infty \) nên \(x = -1\) là tiệm cận đứng.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{3 \over 5}} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{3 \over 5}} \right)}^ + }} {{{x^2} + x + 1} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {3 – 5x} \right)}} =  – \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{3 \over 5}} \right)}^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{3 \over 5}} \right)}^ – }} {{{x^2} + x + 1} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {3 – 5x} \right)}} =  + \infty \) nên \(x = {3 \over 5}\) là tiệm cận đứng.