Bài 36 trang 207 SGK giải tích 12 nâng cao

Bài 36. Viết dạng lượng giác của các số phức sau:

a) \(1 – i\tan {\pi  \over 5}\)                               

\(b)\,\tan {{5\pi } \over 8} + i;\)

\(c){\mkern 1mu} 1 – \cos \varphi  – i\sin \varphi {\mkern 1mu} \left( {\varphi  \in\mathbb R,{\mkern 1mu} \varphi  \ne k2\pi,{\mkern 1mu} k \in\mathbb Z} \right){\rm{ }}\)

Giải

\(a)\,1 – i\tan {\pi  \over 5} = 1 – i{{\sin {\pi  \over 5}} \over {\cos {\pi  \over 5}}} = {1 \over {\cos {\pi  \over 5}}}\left( {\cos {\pi  \over 5} – i\sin {\pi  \over 5}} \right) = {1 \over {\cos {\pi  \over 5}}}\left[ {\cos \left( { – {\pi  \over 5}} \right) + i\sin \left( { – {\pi  \over 5}} \right)} \right]\)

\(b)\,\tan {{5\pi } \over 8} + i = {{ – 1} \over {\cos {{5\pi } \over 8}}}\left( { – \sin {{5\pi } \over 8} – i\cos {{5\pi } \over 8}} \right)\)(để ý rằng \(\cos {{5\pi } \over 8} < 0\))

                        \( = {1 \over {\cos {{3\pi } \over 8}}}\left( -{\cos {\pi  \over 8} + i\sin {\pi  \over 8}} \right) = {1 \over {\cos {{3\pi } \over 8}}}\left( {\cos {{7\pi } \over 8} + i\sin {{7\pi } \over 8}} \right)\)

\(c)\,\,1 – \cos \varphi  – i\sin \varphi  = 2\sin^2 {\varphi  \over 2} – 2i\sin {\varphi  \over 2}\cos {\varphi  \over 2} = 2\sin {\varphi  \over 2}\left[ {\sin {\varphi  \over 2} – i\cos {\varphi  \over 2}} \right]\)

Khi \(\sin {\varphi  \over 2} > 0\) thì \(\,1 – \cos \varphi  – i\sin \varphi  = \left( {2\sin {\varphi  \over 2}} \right)\left[ {\cos \left( {{\varphi  \over 2} – {\pi  \over 2}} \right) +i\sin\left( {{\varphi  \over 2} – {\pi  \over 2}} \right)} \right]\) là dạng lượng giác cần tìm.

Khi \(\sin {\varphi  \over 2} < 0\) thì \(\,1 – \cos \varphi  – i\sin \varphi  = \left( { – 2\sin {\varphi  \over 2}} \right)\left[ {\cos \left( {{\varphi  \over 2} + {\pi  \over 2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi  \over 2} + {\pi  \over 2}} \right)} \right]\) là dạng lượng giác cần tìm.

Còn khi \(\sin {\varphi  \over 2} = 0\) thì \(\,\,1 – \cos \varphi  – i\sin \varphi  = 0 = 0\left( {\cos \alpha  + i\sin \alpha } \right)\,\,(\alpha  \in\mathbb R\)tùy ý).