Bài 39 trang 209 SGK giải tích 12 nâng cao

Bài 39. Giải các phương trình sau trên C:

\(\eqalign{  & a)\,{\left( {z + 3 – i} \right)^2} – 6\left( {z + 3 – i} \right) + 13 = 0;  \cr  & b)\,\left( {{{iz + 3} \over {z – 2i}}} \right)^2 – 3{{iz + 3} \over {z – 2i}} – 4 = 0; \cr} \)

\(c)\,\,{\left( {{z^2} + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 0.\)

Giải

a) Đặt \({\rm{w}} = z + 3 – i\) ta được phương trình:

                        \(\eqalign{  & {{\rm{w}}^2} – 6{\rm{w}}+ 13 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{\rm{w}} – 3} \right)^2} =  – 4 = 4{i^2}  \cr  &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {\rm{w}} = 3 + 2i \hfill \cr  {\rm{w}} = 3 – 2i \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{  z + 3 – i = 3 + 2i \hfill \cr  z + 3 – i = 3 – 2i \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{  z = 3i \hfill \cr  z =  – i \hfill \cr}  \right. \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ { – i;3i} \right\}\)

b) Đặt \({\rm{w}} = {{iz + 3} \over {z – 2i}}\) ta được phương trình: \({{\rm{w}}^2} – 3{\rm{w}} – 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {\rm{w}} =  – 1 \hfill \cr {\rm{w}} = 4 \hfill \cr}  \right.\)

Với \({\rm{w}} = -1\) ta có \({{iz + 3} \over {z – 2i}} =  – 1 \Leftrightarrow iz + 3 =  – z + 2i\)

\( \Leftrightarrow \left( {i + 1} \right)z =  – 3 + 2i \Leftrightarrow z = {{ – 3 + 2i} \over {1 + i}} = {{\left( { – 3 + 2i} \right)\left( {1 – i} \right)} \over 2} = {{ – 1 + 5i} \over 2}\)

Với \({\rm{w}} = 4\) ta có \({{iz + 3} \over {z – 2i}} = 4 \Leftrightarrow \left( {4 – i} \right)z = 3 + 8i\)

                                    \( \Leftrightarrow z = {{3 + 8i} \over {4 – i}} = {{\left( {3 + 8i} \right)\left( {4 + i} \right)} \over {17}} = {{4 + 35i} \over {17}}\)

Vậy \(S = \left\{ {{{ – 1 + 5i} \over 2};{{4 + 35} \over {17}}} \right\}\)

\(c)\,{\left( {{z^2} + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = {\left( {{z^2} + 1} \right)^2} – {\left[ {i\left( {z + 3} \right)} \right]^2}\)

\( = \left( {{z^2} + 1 + i\left( {z + 3} \right)} \right)\left( {{z^2} + 1 – i\left( {z + 3} \right)} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow\left[ \matrix{  {z^2} + 1 + i\left( {z + 3} \right) = 0\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr  {z^2} + 1 – i\left( {z + 3} \right) = 0\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr}  \right.\)

Phương trình (1) là phương trình bậc hai \({z^2} + iz + 1 + 3i = 0\);

\(\Delta  =  – 5 – 12i = {\left( {2 – 3i} \right)^2}\) 

Phương trình có hai nghiệm là \({z_1} = 1 – 2i\) và \({z_2} =  – 1 + i\).

Phương trình (2) là phương trình bậc hai \({z^2} – iz + 1 – 3i = 0\);

\(\Delta  =  – 5 + 12i = {\left( {2 + 3i} \right)^2}\) 

Phương trình có hai nghiệm là \({z_3} = 1 + 2i\) và \({z_4} =  – 1 – i\)

Vậy \(S = \left\{ {1 – 2i; – 1 + i;1 + 2i; – 1 – i} \right\}\)