Bài 40 trang 43 Giải tích 12 Nâng cao

Bài 40

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

           \(y = {x^3} + 3{x^2} – 4\)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.

c) Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị.

Giải

a) Tập xác đinh: \(D=\mathbb R\)

Sự biến thiên:

\(\eqalign{
& y’ = 3{x^2} + 6x \cr
& y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = – 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

– Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { – \infty ; – 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\)

– Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-2;0)\)

– Cực trị:

  Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\;;y_{CĐ}=0\)

  Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\;;y_{CT}=-4\)

– Giới hạn:

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} + 3{x^2} – 4} \right) = + \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {{x^3} + 3{x^2} – 4} \right) = – \infty \cr} \)

\(\eqalign{
& y” = 6x + 6 \cr
& y” = 0 \Leftrightarrow x = – 1 \cr} \)

Điểm uốn \(I(-1;-2)\)

– Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị hàm số nhận điiểm \(I(-1;-2)\) làm tâm đối xứng.

b) \(y'(-1)=-3\)

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại \(I(-1;-2)\) là:

\(y=-3(x+1)+(-2) \Leftrightarrow y =  – 3x – 5\)

c) Đồ thị nhận \(I(-1;-2)\) làm tâm đối xứng khi và chỉ khi:

\(\eqalign{
& y\left( { – 1 + x} \right) + y\left( { – 1 – x} \right) = 2.\left( { – 2} \right) \cr
& \Leftrightarrow {\left( { – 1 + x} \right)^3} + 3{\left( { – 1 + x} \right)^2} – 4 + {\left( { – 1 – x} \right)^3} + 3{\left( { – 1 – x} \right)^2} – 4 = – 4 \cr
& \Leftrightarrow – 1 + 3x – 3{x^2} + {x^3} + 3 – 6x + 3{x^2} – 4 – 1 – 3x – 3{x^2} – {x^3} + 3 + 6x + 3{x^2} – 4 = – 4 \cr
& \Leftrightarrow – 4 = – 4\,\,\forall x \cr} \)

\(\Leftrightarrow I(-1;-2)\) là tâm đối xứng của đồ thị.