Bài 42 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao

Bài 42. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a)\(y = {1 \over 3}{x^3} – {x^2} – 3x – {5 \over 3}\)

b) \(y = {x^3} – 3x + 1\)

c) \(y =  – {1 \over 3}{x^3} + {x^2} – 2x – {2 \over 3}\)

d) \(y = {x^3} – 3{x^2} + 3x + 1\)

Gỉải

a) TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty \cr
& y’ = {x^2} – 2x – 3;\,\,y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = – 1 \hfill \cr
x = 3 \hfill \cr} \right.;\,\,y\left( { – 1} \right) = 0;\,\,y\left( 3 \right) = {{ – 32} \over 3} \cr} \)

Bảng biến thiên:

\(y” = 2x – 2;\,y” = 0 \Leftrightarrow x = 1;\,y\left( 1 \right) =  – {{16} \over 3}\)

Xét dấu y”

Điểm uốn \(I\left( {1; – {{16} \over 3}} \right)\)

Điểm đặc biệt: \(x = 0 \Rightarrow y = {{ – 5} \over 3}\)

Đồ thị: Đồ thị nhận \(I\left( {1; – {{16} \over 3}} \right)\) làm tâm đối xứng.

b) TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty \cr
& y’ = 3{x^2} – 3;\,y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = – 1 \hfill \cr
x = 1 \hfill \cr} \right.;\,\,y\left( { – 1} \right) = 3;\,y\left( 1 \right) = – 1 \cr} \)

Bảng biến thiên:

\(y” = 6x;\,y” = 0 \Leftrightarrow x = 0;\,y\left( 0 \right) = 1\)

Xét dấu \(y”\)

Điểm uốn \(I(0;1)\)

Điểm đặc biệt:\(x = 2 \Rightarrow y = 3\)

Đồ thị: Đồ thị nhận \(I(0;1)\) làm tâm đối xứng.

c) TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  – \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } y =  + \infty \)

\(y’ =  – {x^2} + 2x – 2 < 0\) với mọi \(x \in\mathbb R\)

Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\)

Bảng biến thiên:

\(y” =  – 2x + 2;\,y” = 0 \Leftrightarrow x = 1;\,y\left( 1 \right) =  – 2\)

Xét dấu \(y”\)

Điểm uốn \(I(1;-2)\)

Điểm đặc biết:\(x = 0 \Rightarrow y = {{ – 2} \over 3}\)

Đồ thị: Đồ thị nhận \(I(1;-2)\) làm tâm đối xứng.

d) TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } y =  – \infty \)

\(y’ = 3{x^2} – 6x + 3 = 3{\left( {x – 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in\mathbb R\)

Dấu bằng chỉ xảy ra khi \(x = 1\)

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\)

Bảng biến thiên:

Xét dấu \(y”\)

Điểm uốn \(I(1;2)\)

Điểm đặc biệt: \(x = 0 \Rightarrow y = 1\)

Đồ thị: Đồ thị nhận \(I(1;2)\) làm tâm đối xứng.