Bài 44 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao

Bài 44.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:

a) \(y = {x^4} – 3{x^2} + 2\)             b) \(y =  – {x^4} – 2{x^2} + 1\)

Gỉải

a) TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \cr
& y’ = 4{x^3} – 6x;\,\,y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0;\,\,\,\,\,y\left( 0 \right) = 2 \hfill \cr
x = \pm \sqrt {{3 \over 2}} ;\,\,y\left( { \pm \sqrt {{3 \over 2}} } \right) = – {1 \over 4} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Bảng biến thiên:

\(y” = 12{x^3} – 6;\,\,y” = 0 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt {{1 \over 2}} ;\,y = \left( { \pm \sqrt {{1 \over 2}} } \right) = {3 \over 4}\)
Xét dấu \(y”\)
 
Đồ thị có hai điểm uốn \({I_1}\left( { – \sqrt {{1 \over 2}} ;{3 \over 4}} \right)\)  và \({I_2}\left( {\sqrt {{1 \over 2}} ;{3 \over 4}} \right)\)
Điểm đặc biệt: \(x =  \pm 1 \Leftrightarrow y = 0,x =  \pm \sqrt 2  \Leftrightarrow y = 0.\)
Đồ thị: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

b) TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = – \infty \cr
& y’ = – 4{x^3} – 4x = – 4x\left( {{x^2} + 1} \right) \cr
& y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0;y\left( 0 \right) = 1 \cr} \)

Bảng biến thiên:

\(y” =  – 12{x^2} – 4 =  – 4\left( {3{x^2} + 1} \right) < 0\) với mọi \(x\)
Đồ thị không có điểm uốn.

Điểm đặc biệt \(x =  \pm 1 \Rightarrow y =  – 2\)
Đồ thị:

Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.